2020-江苏卷-21C 解-不等式选讲

本题导读

本题考查绝对值的几何意义与代数定义。核心在于零点分段讨论、图像辅助法 (可选)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）23. [选修4-5：不等式选讲] 设 $x\in \mathbb{R}$，解不等式 $2|x+1|+|x|\le 4$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定分界点（零点）： 令绝对值内部为 0，得到两个关键点：$x=-1$ 和 $x=0$。

2. 划分区间： 这两个点将数轴分为三个部分：

• 区间 I：$x<-1$

• 区间 II：$-1\le x\le 0$

• 区间 III：$x>0$

3. 逐段去绝对值： 根据 $x$ 在不同区间内时，$x+1$ 和 $x$ 的正负性，去掉绝对值符号，分别求解不等式，最后取并集。

✅【答案】

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$[-2,\frac{2}{3}]$

✍【详细解析】

Abstract

【解：】 令 $f(x)=2|x+1|+|x|$。

① 当 $x<-1$ 时： 原不等式化为：$-2(x+1)-x\le 4$ $-2x-2-x\le 4⟹-3x\le 6⟹x\ge -2$。 结合条件 $x<-1$，得：$-2\le x<-1$。

② 当 $-1\le x\le 0$ 时： 原不等式化为：$2(x+1)-x\le 4$ $2x+2-x\le 4⟹x\le 2$。 结合条件 $-1\le x\le 0$，得：$-1\le x\le 0$。

③ 当 $x>0$ 时： 原不等式化为：$2(x+1)+x\le 4$ $2x+2+x\le 4⟹3x\le 2⟹x\le \frac{2}{3}$。 结合条件 $x>0$，得：$0<x\le \frac{2}{3}$。

综合上述三种情况： 取各段解集的并集：$[-2,-1)\cup [-1,0]\cup (0,\frac{2}{3}]=[-2,\frac{2}{3}]$。

故原不等式的解集为：$[-2,\frac{2}{3}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 零点分段法的严谨性： 在划分区间时，端点值的归属（即等号放在哪一段）通常不影响结果，但建议保持习惯统一（如“左闭右开”），确保不重不漏。
• 几何直观检查： 函数 $y=2|x+1|+|x|$ 的图像是一个折线。在 $x\in [-1,0]$ 段斜率为 1，在 $x>0$ 段斜率为 3，在 $x<-1$ 段斜率为 -3。通过观察折线的折点 $(-1,1)$ 和 $(0,2)$，可以预判解集的范围。
• 易错点： 去掉绝对值时漏掉系数 $2$，或者在处理负数不等式变号时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果这道题出现在填空题中，可以快速画出折线图：

1. 描点：$x=-1,y=1$；$x=0,y=2$。
2. 射线：$x>0$ 时斜率为 3；$x<-1$ 时斜率为 -3。
3. 找交点：令 $3x+2=4⟹x=2/3$；令 $-3x-2=4⟹x=-2$。 两交点之间即为解集。

对于 $|x-a|+|x-b|\le c$ 型不等式，其核心是讨论 $x$ 在两根之间及两根之外的距离分布。江苏卷附加题中这类题目难度通常稳定，熟练掌握分段讨论是拿满分的保障。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷理-14 单-含绝对值的分式不等式组
• 2011-广东卷理-09
• 2012-江西理-16