2020-江苏卷-23 解-数学期望

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。核心在于状态转移矩阵思想、待定系数法 (构造数列)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作。记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 2 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 1 个黑球的概率为 $q_n$。

（1）求 $p_1,q_1$ 和 $p_2,q_2$；

（2）求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式，并求 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 状态分析：

甲口袋中黑球数量 $X_n$ 可能的取值为 $0,1,2$。

• $P(X_n=2)=p_n$

• $P(X_n=1)=q_n$

• $P(X_n=0)=1-p_n-q_n$

2. 建立状态转移方程：

要计算 $p_n$，需考虑第 $n-1$ 次操作后的状态。

• 若 $X_{n-1}=2$，则甲有 (2黑1白)，乙有 (0黑3白)。只有甲摸出白球(1/3)、乙摸出白球(3/3)交换后，黑球数保持 2。

• 若 $X_{n-1}=1$，则甲有 (1黑2白)，乙有 (1黑2白)。只有甲摸出白球(2/3)、乙摸出黑球(1/3)交换后，黑球数变为 2。

3. 期望的特殊性：

注意到 $E(X_n)=0\cdot P(X_n=0)+1\cdot p_n+2\cdot p_n=2p_n+q_n$。

这意味着求出递推关系式并解出通项，直接就是期望。

✅【答案】

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$2p_n+q_n=1+\frac{1}{3^n}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

1. 第一次操作：

甲初始 (2黑1白)，乙初始 (3白)。

• $p_1$：甲取白(1/3)，乙取白(3/3)，交换后甲仍为 2 黑。 $p_1=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}$。

• $q_1$：甲取黑(2/3)，乙取白(3/3)，交换后甲变为 1 黑。 $q_1=\frac{2}{3}\times 1=\frac{2}{3}$。

2. 第二次操作：

• $p_2=p_1\cdot P(2\to 2)+q_1\cdot P(1\to 2)=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}\cdot 1)+\frac{2}{3}\cdot (\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1}{9}+\frac{4}{27}=\frac{7}{27}$。

• $q_2=p_1\cdot P(2\to 1)+q_1\cdot P(1\to 1)+P(0\to 1)\cdot 0$。

其中 $P(1 \to 1) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 2}{3 \times 3} = \frac{5}{9}$（甲乙同取黑或同取白）。

$q_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2}{9} + \frac{10}{27} = \frac{16}{27}$。

（2）解：

1. 建立递推式：

$p_n=\frac{1}{3}{p}_{n-1}+\frac{2}{9}{q}_{n-1}$ —— ①

$q_n=\frac{2}{3}{p}_{n-1}+\frac{5}{9}{q}_{n-1}+\frac{2}{3}(1-p_{n-1}-q_{n-1})$

化简 $q_n$：$q_n=-\frac{1}{9}{q}_{n-1}+\frac{2}{3}$ —— ②

2. 计算 $2p_n+q_n$：

将 ①② 代入：

$2p_n+q_n=2(\frac{1}{3}{p}_{n-1}+\frac{2}{9}{q}_{n-1})+(-\frac{1}{9}{q}_{n-1}+\frac{2}{3})$

$2p_n+q_n=\frac{2}{3}{p}_{n-1}+\frac{3}{9}{q}_{n-1}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(2p_{n-1}+q_{n-1})+\frac{2}{3}$。

3. 求解通项：

设 $2p_n+q_n-t=\frac{1}{3}(2p_{n-1}+q_{n-1}-t)$，解得 $t=1$。

则 $\{2p_n+q_n-1\}$ 是首项为 $2p_1+q_1-1=2(\frac{1}{3})+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列。

$2p_n+q_n-1=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}{)}^{n-1}=(\frac{1}{3}{)}^n$。

故 $2p_n+q_n=1+\frac{1}{3^n}$。

4. 数学期望：

$E(X_n)=0\cdot (1-p_n-q_n)+1\cdot q_n+2\cdot p_n=2p_n+q_n=1+\frac{1}{3^n}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 期望的代数转化： 很多学生会试图分别求出 $p_n$ 和 $q_n$ 的通项，但本题巧妙在于 $E(X_n)$ 的表达式正好对应了递推式中的组合结构，大大减少了计算量。

• 状态不遗漏： 在写 $q_n$ 的递推时，必须考虑 $X_{n-1}=0$ 转移到 $X_n=1$ 的情况，这是保证解析式正确的关键。

• 分步计数： 每次交换涉及甲乙各取一球，分母恒为 $3\times 3=9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

观察 $E(X_n)=1+\frac{1}{3^n}$，当 $n\to \infty$ 时，期望趋近于 1。

这意味着在经过无数次交换后，甲口袋中黑球数量的平均值会稳定在 1 个。这是因为甲乙共有 6 个球，其中 2 个黑球分布在 2 个口袋中，按比例分配甲口袋（3个球）理应分得 1 个。

本题可以用矩阵描述：

$\left[\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\\ r_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/3& 2/9& 0\\ 2/3& 5/9& 2/3\\ 0& 2/9& 1/3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{n-1}\\ q_{n-1}\\ r_{n-1}\end{array}\right]$

这种线性代数的方法是处理此类“马尔可夫链”问题的通用工具，能更清晰地展现状态演变的规律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

• 23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-18 解-相互独立事件的概率乘法公式

• 2004-湖北理-21 解-相互独立事件的概率乘法公式

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布