2020-浙江卷-06 单-空间公理

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。核心在于举反例法 (判定充分性)、逻辑推理法 (判定必要性)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）6. 已知空间中不过同一点的三条直线 $m,n,l$，则“$m,n,l$ 在同一平面”是“$m,n,l$ 两两相交”的（ ）

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性 (前 $⟹$ 后)： 条件：$m,n,l$ 在同一平面。 结论：$m,n,l$ 两两相交。

• 思考： 在一个平面内，三条直线除了两两相交，还有什么情况？

• 构造反例： 如果 $m//n//l$。此时它们在同一平面内，但它们并不相交。

• 结论： 充分性不成立。

2. 判定必要性 (后 $⟹$ 前)： 条件：$m,n,l$ 两两相交且不过同一点。 结论：$m,n,l$ 在同一平面。

• 逻辑推理：

• 设 $m\cap n=A$, $n\cap l=B$, $l\cap m=C$。
• 因为三线不过同一点，所以 $A,B,C$ 是三个不同的点。
• 由 $m,n$ 相交于 $A$，根据公理2（两条相交直线确定一个平面），设它们确定平面 $\alpha$。
• 此时 $A\in \alpha ,B\in \alpha ,C\in \alpha$。
• 直线 $l$ 经过点 $B$ 和 $C$，而 $B,C$ 都在平面 $\alpha$ 内。
• 根据公理1（如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内），直线 $l\subset \alpha$。

• 结论： 必要性成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 充分性： 若 $m,n,l$ 共面，它们可以互相平行，此时不满足“两两相交”，故不充分。
2. 必要性： 若 $m,n,l$ 两两相交且不过同一点，这三条直线必然构成一个三角形。三角形的三个顶点确定一个唯一平面，三条边（直线）必然都在这个平面内，故必要。
3. 综上： “共面”是“两两相交”的必要不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 充要条件判定口诀： “前推后，叫充分；后推前，叫必要。”
• 反例意识： 看到“共面”，脑子里立刻要反应出“平行”和“相交”两种情况。
• 隐藏条件： 题目强调“不过同一点”，这是为了排除三线共点（像风扇叶片一样）但可能异面的特殊复杂情况，简化了必要性的证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. “三条直线两两相交” $⟹$ “三线共面” 或 “三线共点”。
2. “三条直线两两平行” $⟹$ “三线共面” 或 “每两条确定一个平面（共3个平面，如三棱柱的侧棱）”。

快速求解： 共面不一定相交（可能平行），所以不充分；相交（成三角形）一定共面，所以必要。选 B。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 1987-全国卷理-04 单-充分条件与必要条件