2020-浙江卷-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式。核心在于通项公式法、逐项展开法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）12. 设 $(1+2x{)}^5=a_1+a_{2}x+a_3{x}^2+a_4{x}^3+a_5{x}^4+a_6{x}^5$，则 $a_5=$ ________；$a_1+a_2+a_3=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定通项公式：

对于 $(a+b{)}^n$，通项为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

在本题 $(1+2x{)}^5$ 中，通项为：

$T_{r+1}=C_5^r\cdot 1^{5-r}\cdot (2x{)}^r=2^r{C}_5^r{x}^r$

2. 第一空：求 $a_5$

• 注意题目给出的展开式形式：$a_1$ 是常数项，$a_2$ 是 $x^1$ 项系数，…，$a_5$ 是 $x^4$ 的系数。

• 令 $r=4$，计算 $T_5$ 的系数。

3. 第二空：求 $a_1+a_2+a_3$

• 分别计算常数项（$r=0$）、一次项（$r=1$）和二次项（$r=2$）的系数，然后求和。

✅【答案】

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80；51

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 80；51

【解析过程】

1. 第一空解答：

由通项公式 $a_{r+1}=2^r{C}_5^r$，欲求 $a_5$，即求 $r=4$ 时的系数。

$a_5=2^4\cdot C_5^4=16\times 5=80$。

2. 第二空解答：

• 当 $r=0$ 时，$a_1=2^0\cdot C_5^0=1\times 1=1$。

• 当 $r=1$ 时，$a_2=2^1\cdot C_5^1=2\times 5=10$。

• 当 $r=2$ 时，$a_3=2^2\cdot C_5^2=4\times 10=40$。

则 $a_1+a_2+a_3=1+10+40=51$。

故答案为：80；51。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 下标陷阱： 很多教材习惯将常数项记为 $a_0$，但本题从 $a_1$ 开始计数。务必看清 $a_n$ 对应的到底是谁的系数。本题中 $a_k$ 对应 $x^{k-1}$。

• 系数计算： $2^r$ 千万不能漏掉。二项式系数是 $C_5^r$，而项的系数（$a_k$）包含数字部分。

• 杨辉三角辅助： 对于 5 次方这样的小数字，也可以脑内快速闪过杨辉三角：$1,5,10,10,5,1$。

• $a_1=1\cdot 2^0=1$

• $a_2=5\cdot 2^1=10$

• $a_3=10\cdot 2^2=40$

• $a_4=10\cdot 2^3=80$

• $a_5=5\cdot 2^4=80$

📖【试题探源与推广】

Tip

虽然本题直接算更简单，但如果题目问的是全部系数和 $a_1+a_2+\cdots +a_6$：

• 令 $x=1$，则 $(1+2\cdot 1{)}^5=3^5=243$。

如果问的是 $a_1-a_2+a_3-a_4\dots$：

• 令 $x=-1$，则 $(1+2\cdot (-1){)}^5=(-1{)}^5=-1$。

快速求解： 第一空：$16\times 5=80$。第二空：$1+10+40=51$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项

• 2005-重庆卷理-08 单-二项式定理

• 2006-天津卷理-11 填-通项公式