2020-浙江卷-15 填-圆的方程

本题导读

本题考查直线与圆相切的判定。核心在于方程组法、几何对称分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）15. 设直线 $l:y=kx+b(k>0)$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 和圆 $(x-4{)}^2+y^2=1$ 均相切，则 $k=$ ________；$b=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取几何信息：

• 圆 $C_1:x^2+y^2=1$，圆心 $O(0,0)$，半径 $r=1$。

• 圆 $C_2:(x-4{)}^2+y^2=1$，圆心 $C(4,0)$，半径 $r=1$。

• 直线方程变形为一般式：$kx-y+b=0$。

2. 利用相切条件：

直线与圆相切的充要条件是：圆心到直线的距离等于半径。

• 对于圆 $C_1$：$\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ —— ①

• 对于圆 $C_2$：$\frac{|4k+b|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ —— ②

3. 解方程组：

由 ①② 可知 $|b|=|4k+b|$。

• 若 $b=4k+b⟹k=0$（由于已知 $k>0$，此解舍去）。

• 若 $b=-(4k+b)⟹2b=-4k⟹b=-2k$。

将 $b=-2k$ 代入方程 ① 即可求出 $k$ 和 $b$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

【解析过程】

1. 建立等量关系：

根据距离公式：

$|b|=\sqrt{k^2+1}$

$|4k+b|=\sqrt{k^2+1}$

从而 $|b|=|4k+b|$。

2. 分析 $k,b$ 关系：

由于 $k>0$，必有 $b=-2k$。

3. 代入求解：

将 $b=-2k$ 代入 $|b|=\sqrt{k^2+1}$ 得：

$|-2k|=\sqrt{k^2+1}$

两边平方：$4k^2=k^2+1$

$3k^2=1⟹k^2=\frac{1}{3}$。

因为 $k>0$，所以 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

4. 求 $b$：

$b=-2k=-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何直观： 这两个圆半径相同，圆心都在 $x$ 轴上。公切线必然关于 $x=2$ 对称。$b=-2k$ 意味着直线 $y=k(x-2)$，即直线一定经过两圆心连线的中点 $(2,0)$。这在考场上可以跳过复杂的方程变形直接列式。

• 符号限制： 题目明确要求 $k>0$。在公切线模型中，通常有 4 条切线（两条外公切线，两条内公切线）。$k>0$ 且 $b=-2k$ 锁定的是其中一条穿过两圆中间的内公切线。

• 运算技巧： 遇到分式方程，两边平方是消去绝对值和根号最稳妥的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

对于圆心在 $x$ 轴上、半径相等的两个圆，其内公切线：

1. 必过两圆心连线的中点。

2. 斜率 $k$ 满足 $\tan \alpha =\frac{r}{\sqrt{(\frac{d}{2}{)}^2-r^2}}$，其中 $d$ 为圆心距。

本题中 $r=1,d=4,d/2=2$，则 $k=\frac{1}{\sqrt{2^2-1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

快速求解： 看到半径相等，直线必过 $(0,0)$ 和 $(4,0)$ 的中点 $(2,0)$ $⟹$ $b=-2k$。

代入距离公式：$2k/\sqrt{k^2+1}=1⟹4k^2=k^2+1⟹k=1/\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程

• 2004-江苏卷-14 填-圆

• 2005-全国卷II理-13 填-点到直线的距离公式