2020-浙江卷-17 填-分式函数最值

本题导读

本题考查向量的模与数量积的关系。核心在于坐标化/参数化 (或直接代数变形)、函数法求最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）17. 设 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 为单位向量，满足 $|2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}|\le \sqrt{2}$。$\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\vec{b}=3\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$。设 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，则 ${\cos }^2\theta$ 的最小值为 ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化限制条件： 利用 $|\vec{x}{|}^2={\vec{x}}^2$，将已知模的范围转化为数量积的范围。 $|2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}{|}^2\le 2⟹4{\overrightarrow{e_1}}^2-4\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\overrightarrow{e_2}}^2\le 2$。 由于 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 是单位向量，故 ${\overrightarrow{e_1}}^2={\overrightarrow{e_2}}^2=1$。 由此可算出 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}$ 的下界。

2. 表示目标函数 ${\cos }^2\theta$： 根据夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，得： ${\cos }^2\theta =\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2}$ 将 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ 和 $\vec{b}=3\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ 代入，并令 $t=\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}$。 目标式将变成关于变量 $t$ 的一个分式函数。

3. 利用单调性求最值： 分析该分式函数在 $t$ 的取值范围内的单调性，代入边界值即可求得最小值。

✅【答案】

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28/29

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 28/29

【解析过程】

1. 确定数量积的范围： $|2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}|\le \sqrt{2}⟹4-4(\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2})+1\le 2$ $5-4(\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2})\le 2⟹4(\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2})\ge 3$ 令 $t=\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}$，则 $t\in [\frac{3}{4},1]$。（注意：单位向量数量积最大为 1）

2. 展开各项分量：

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})\cdot (3\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})=3{\overrightarrow{e_1}}^2+4\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\overrightarrow{e_2}}^2=4+4t$

• $|\vec{a}{|}^2={\overrightarrow{e_1}}^2+2\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\overrightarrow{e_2}}^2=2+2t$

• $|\vec{b}{|}^2=9{\overrightarrow{e_1}}^2+6\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\overrightarrow{e_2}}^2=10+6t$

3. 构造函数： ${\cos }^2\theta =\frac{(4+4t{)}^2}{(2+2t)(10+6t)}=\frac{16(1+t{)}^2}{2(1+t)\cdot 2(5+3t)}=\frac{4(1+t)}{5+3t}$ （注：化简过程中消去了一个非零项 $4(1+t)$）

4. 分析单调性求最小值： 设 $f(t)=\frac{4t+4}{3t+5}=\frac{\frac{4}{3}(3t+5)-\frac{20}{3}+4}{3t+5}=\frac{4}{3}-\frac{8}{3(3t+5)}$。 这是一个在定义域内递增的分式函数。 所以当 $t$ 取最小值 $\frac{3}{4}$ 时，$f(t)$ 取得最小值。 $f(\frac{3}{4})=\frac{4(1+\frac{3}{4})}{5+3(\frac{3}{4})}=\frac{4\cdot \frac{7}{4}}{5+\frac{9}{4}}=\frac{7}{\frac{29}{4}}=\frac{28}{29}$

故答案为：28/29。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化繁为简： 将所有向量运算都收拢到数量积 $t$ 上，是解决此类向量压轴题的通用“暴力”手段。
• 单调性判断： 这种形式的分式函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的单调性可以通过判定 $ad-bc$ 的正负或求导快速得出。
• 几何意义： 该题也可以看作 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 夹角 $\alpha$ 在特定范围内波动，通过半角公式或辅助角公式求解，但代数法显然更直接且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 基底法： 找两个互相垂直或有特殊夹角的单位向量作为基底。
2. 建系法： 如果条件允许，直接建立直角坐标系。
3. 几何最值： 转化为圆上一点到定直线距离或定点距离的最值。

快速求解： 条件给出的不等式直接解出 $\cos \alpha \ge 3/4$。目标式化简后是 $4(1+t)/(5+3t)$，分子分母系数比 $4/3>4/5$，说明函数递增。直接把下限 $3/4$ 往里填，口算 $4\times 1.75/(5+2.25)=7/7.25=28/29$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2004-重庆理-06 单-平面向量的数量积运算
• 2016-全国卷III理-03
• 2004-全国卷I理-03 单-平面向量的数量积