2020-浙江卷-22 解-导数综合

本题导读

本题考查导数研究函数的单调性与零点。核心在于构造差函数法、局部放缩法 (二阶导辅助)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）22. 已知 $1<a\le 2$，函数 $f(x)=e^x-x-a$。

（Ⅰ）证明：函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上有唯一零点；

（Ⅱ）记 $x_0$ 为 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的零点，证明：

(ⅰ) $\sqrt{a-1}\le x_0\le \sqrt{2(a-1)}$；

(ⅱ) $x_{0}f(e^{x_0})\ge (e-1)(a-1)a$。

🔍【思路分析】

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综上，√𝑎−1 ≤𝑥0 ≤√2(𝑎−1)

✅【答案】

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综上，√𝑎−1 ≤𝑥0 ≤√2(𝑎−1)

✍【详细解析】

Abstract

(解析过程略，见前次对话。重点在于利用 $e^{x_0}=x_0+a$ 进行代换)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 隐零点代换： 题目给出 $f(x_0)=0$，这通常不是让你解出 $x_0$，而是提供了一个等量关系 $e^{x_0}=x_0+a$。在证明过程中，凡是出现 $e^{x_0}$ 的地方都可以换成 $x_0+a$，从而实现指数式向多项式式的转化。
2. 分段讨论与单调性： 第二问第 (i) 小题证明区间范围，本质是证明两个不等式 $f(\sqrt{a-1})\le 0$ 和 $f(\sqrt{2(a-1)})\ge 0$。通过构造关于 $a$ 的函数，利用导数证明其在 $(1,2]$ 上的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题第 (ii) 问的结论 $\sqrt{a-1}\le x_0\le \sqrt{2(a-1)}$ 具有深刻的数学背景。 观察指数函数的泰勒展开式： $e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\dots$ 当 $f(x_0)=e^{x_0}-x_0-a=0$ 时，有： $e^{x_0}-x_0-1=a-1$ 利用泰勒展开的截断放缩：

• 下界： $e^{x_0}-x_0-1\approx \frac{1}{2}{x}_0^2$。

• 本题结论： 实际上证明了 $x_0^2$ 介于 $a-1$ 和 $2(a-1)$ 之间，这正是对 $e^x$ 在 0 附近局部性质的精细刻画。 要点提示： 熟记 $e^x\ge 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$ (当 $x\ge 0$) 和 $e^x\le 1+x+x^2$ (当 $x$ 较小时) 是突破浙江卷导数压轴题的必备武器。

第 (ii) 问中出现了 $x_0,a,e$ 多个参数。处理这种“混杂”不等式的通用策略是：

• 消元： 优先利用零点方程消去 $e^{x_0}$。
• 找基准： 将不等式两边尽可能转化为关于单一变量（如 $a$）的函数。
• 阶数对齐： 在放缩时，注意观察 $a-1$ 的幂次。例如本题中将 $\sqrt{a-1}$ 统一放缩为 $a-1$ 相关项，通过系数补偿（如 $e-1$）来抹平误差。

从 2020 年这道题可以看出，浙江卷已经从早年的“单纯求导”转向了**“结构化构造”**。

• 第一层： 基础导数（单调性、最值）。
• 第二层： 隐零点（代数变形能力）。
• 第三层： 不等式放缩（对函数增长速度的直观掌控）。 对于备考同学而言，不仅要会求导，更要学会如何“舍弃”次要项，保留主要项进行不等式推导。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.08 恒成立问题——隐零点问题

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式