2021-上海卷-04 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的几何意义。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）4. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=$ ___________．

方法一：投影法（最高效） 根据向量数量积的几何意义，$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot (|\vec{b}|\cos \theta )$，其中 $|\vec{b}|\cos \theta$ 是向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影。 在正方形中，$C$ 点在 $AB$ 所在直线上的投影恰好是点 $B$。

方法二：定义法（最标准） 直接利用公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。 已知边长 $AB=3$，则对角线 $AC=3\sqrt{2}$，夹角 $\angle CAB=45^{\circ }$。

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$9$

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

方式一（投影法）： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos \angle CAB$ 因为在正方形中，$AC\cos 45^{\circ }=AB$， 即向量 $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影长度等于 $|\overrightarrow{AB}|$， 所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AB}|=3^2=9$。

方式二（定义法）： 在边长为 $3$ 的正方形 $ABCD$ 中： $|\overrightarrow{AB}|=3$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ $\angle CAB=45^{\circ }$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 3\sqrt{2}\times \cos 45^{\circ }=9\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=9$。

故答案为：$9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直即投影为零： 在几何图形中，如果 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$，那么 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})={\overrightarrow{AB}}^2+0$。这种拆分思想在处理复杂图形（如圆、梯形）时非常有用。
• 上海卷的向量趋势： 题目虽然基础，但往往暗示学生利用图形特征（垂直、对称）简化代数运算。

数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的几何本质是：“底”乘以“投影”。

1. 直角模型： 只要 $C$ 到 $AB$ 的垂足落在 $AB$ 的延长线上（如本题），积就是 $|\overrightarrow{AB}|\times |{\overrightarrow{AB}}_{\text{投影}}|$。
2. 极化恒等式： 如果 $M$ 是 $BC$ 的中点，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}{|}^2-\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}{|}^2$。

这类技巧在上海卷中后段的向量填空题中能节省大量建立坐标系的时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2012-北京卷理-13