2021-上海卷-11 填-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）11. 已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$，若第一象限的点 $A,B$ 在抛物线上，抛物线焦点为 $F$。若 $|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3$，则直线 $AB$ 的斜率为 ___________．

1. 利用定义转化： 抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则：

• $|AF|=x_1+\frac{p}{2}=2$
• $|BF|=x_2+\frac{p}{2}=4$ 由此可得横坐标之差：$x_2-x_1=4-2=2$。

2. 构造直角三角形： 已知弦长 $|AB|=3$，横坐标之差（水平距离） $\Delta x=2$。 根据两点间距离公式：$|AB{|}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$。 可求出纵坐标之差 $\Delta y=y_2-y_1$。

3. 计算斜率： 利用斜率定义 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 即可得出答案。

🔍【思路分析】

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$\surd 52$

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由抛物线定义求 $\Delta x$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 由抛物线定义知： $|AF|=x_1+\frac{p}{2}=2$ $|BF|=x_2+\frac{p}{2}=4$ 两式相减得： $x_2-x_1=(x_2+\frac{p}{2})-(x_1+\frac{p}{2})=4-2=2$。

第二步：由弦长公式求 $\Delta y$ 已知 $|AB|=3$，根据平面内两点间距离公式： $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ $3=\sqrt{2^2+(y_2-y_1{)}^2}$ $9=4+(y_2-y_1{)}^2⟹(y_2-y_1{)}^2=5$ 因为点 $A,B$ 均在第一象限，且 $|BF|>|AF|$，可知 $y_2>y_1$， 所以 $y_2-y_1=\sqrt{5}$。

第三步：计算斜率 $k$ $k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是解析几何的灵魂： 很多同学看到题目会尝试设直线方程联立抛物线方程，但这会引入参数 $p$ 和 $k$，导致运算量爆炸。**“见焦点，找准线”**是解决抛物线距离问题的通用直觉。
• 几何意义的提取： 本题实质上是利用直角三角形的勾股定理。斜率的本质是 $\tan \theta$，而 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别对应直角三角形的两条直角边。

在填空题中，掌握弦长公式的不同表达形式可以大幅提速：

1. 坐标形态（本题使用）： $L=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。
2. 斜率形态： $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|$。 验证本题： $3=\sqrt{1+k^2}\cdot 2⟹9=4(1+k^2)⟹k^2=\frac{5}{4}⟹k=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 这种方法在已知斜率求弦长，或已知弦长求斜率时效率极高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义
• 2013-浙江卷理-15 填-抛物线定义与简单几何性质