2021-上海卷-12 填-递推数列最值

本题导读

本题考查数列递推关系，以及逻辑约束条件。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）12. 已知 $a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast }(i=1,2,\dots ,9)$，且对任意 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }(2\le k\le 8)$，都有 $a_k=a_{k-1}+1$ 或 $a_k=a_{k+1}-1$ 中有且仅有一个成立。若 $a_1=6,a_9=9$，则 $a_1+\cdots +a_9$ 的最小值为 ___________．

1. 逻辑条件转化： 设 $b_k=a_{k+1}-a_k$（代表步长）。 条件“$a_k=a_{k-1}+1$ 或 $a_k=a_{k+1}-1$ 有且仅有一个成立”等价于：

• $a_k-a_{k-1}=1$ 或 $a_{k+1}-a_k=1$ 有且仅有一个成立。 即：$b_{k-1}=1$ 与 $b_k=1$ 中有且仅有一个为真。

这意味着在数列的步长序列 $b_1,b_2,\dots ,b_8$ 中，相邻的两个步长不能同时为 1，也不能同时不为 1。 换句话说，$1$ 在步长序列中必须是“隔位出现”的。

2. 步长序列的两种模式：

• 模式 A：$b_1=1,b_2\ne 1,b_3=1,b_4\ne 1,b_5=1,b_6\ne 1,b_7=1,b_8\ne 1$
• 模式 B：$b_1\ne 1,b_2=1,b_3\ne 1,b_4=1,b_5\ne 1,b_6=1,b_7\ne 1,b_8=1$

3. 构造与最值： 为了使总和最小，在 $b_k\ne 1$ 的位置，我们希望 $a_k$ 尽可能小（由于 $a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，最小为 1）。同时必须满足首末项 $a_1=6,a_9=9$ 的约束。

🔍【思路分析】

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$31$

✅【答案】

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$31$

✍【详细解析】

Abstract

根据思路分析，步长序列中 $1$ 必须交替出现。由于 $a_9-a_1={\sum }_{k=1}^8{b}_k=9-6=3$。

情况一：模式 A（奇数位步长为 1） 步长序列为：$1,b_2,1,b_4,1,b_6,1,b_8$。 则 $\sum b_k=4+(b_2+b_4+b_6+b_8)=3⟹b_2+b_4+b_6+b_8=-1$。 由于 $b_k=a_{k+1}-a_k$，且 $a_i\ge 1$，步长可以是负数。 为了总和最小，我们让序列在中间尽量“跳水”到 1。 构造序列：$a_1=6,a_2=7$（$b_1=1$）。 接下来的步长 $b_2\ne 1,b_3=1,\dots$ 为了让 $a_3$ 最小，取 $a_3=1$，则 $b_2=-6$。 序列如下： $a_1=6$ $a_2=7$ ($b_1=1$) $a_3=1$ ($b_2=-6$) $a_4=2$ ($b_3=1$) $a_5=1$ ($b_4=-1$) $a_6=2$ ($b_5=1$) $a_7=1$ ($b_6=-1$) $a_8=2$ ($b_7=1$) $a_9=9$ ($b_8=7$) 此时步长序列为 $(1,-6,1,-1,1,-1,1,7)$，符合“1隔位出现”的条件。 总和 $S=6+7+1+2+1+2+1+2+9=31$。

情况二：模式 B（偶数位步长为 1） 步长序列为：$b_1,1,b_3,1,b_5,1,b_7,1$。 则 $\sum b_k=(b_1+b_3+b_5+b_7)+4=3⟹\sum b_{odd}=-1$。 构造序列：为了让 $a_2$ 最小，取 $a_2=1$，则 $b_1=-5$。 序列如下： $a_1=6$ $a_2=1$ ($b_1=-5$) $a_3=2$ ($b_2=1$) $a_4=1$ ($b_3=-1$) $a_5=2$ ($b_4=1$) $a_6=1$ ($b_5=-1$) $a_7=2$ ($b_6=1$) $a_8=8$ ($b_7=6$) $a_9=9$ ($b_8=1$) 此时步长序列为 $(-5,1,-1,1,-1,1,6,1)$，符合条件。 总和 $S=6+1+2+1+2+1+2+8+9=32$。

比较两种情况，$31<32$。

故答案为：$31$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 理解“有且仅有一个”： 这种表述是逻辑排他性的体现。在数列中，它限定了某种变化规律（如增长）不能连续发生，也不能连续不发生。
• 构造法的灵活性： 只要满足首尾项和逻辑规则，中间的项可以剧烈波动。为了求和最小，让中间项尽可能接近下界 $1$。

上海卷 12 题常涉及此类离散数学风格的题目。处理技巧包括：

1. 差分分析： 设 $b_k=a_{k+1}-a_k$ 往往能简化逻辑。

2. 图解法： 将 $a_i$ 看作坐标系中的点 $(i,a_i)$。本题的条件意味着折线图中，相邻的两段“爬坡（斜率为1）”不能连在一起。

3. 极值位置： 在约束范围内，尽量压低项的数值。注意 $a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 隐含了 $a_i\ge 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-21
• 2000-广东卷理-15 填-数列递推关系
• 2001-豫粤卷-15 填-等比数列的前n项和公式