2021-上海卷-16 单-均值不等式

本题导读

本题考查二次函数的性质，以及均值不等式与凹凸性。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）16. 已知两两不同的 $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$ 满足 $x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3$，且 $x_1<y_1$，$x_2<y_2$，$x_3<y_3$，$x_1{y}_1+x_3{y}_3=2x_2{y}_2>0$，则下列选项中恒成立的是（ ）

A. $2x_2<x_1+x_3$　　　　　　　　　　　　　　B. $2x_2>x_1+x_3$

C. $x_2^2<x_1{x}_3$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x_2^2>x_1{x}_3$

1. 结构化处理： 设 $x_i+y_i=2a$（常数）。 则 $y_i=2a-x_i$。由于 $x_i<y_i$，可得 $x_i<a$。

2. 构造函数： 已知条件 $x_1{y}_1+x_3{y}_3=2x_2{y}_2$ 可以写成： $x_1(2a-x_1)+x_3(2a-x_3)=2x_2(2a-x_2)$ 设函数 $f(x)=x(2a-x)=-x^2+2ax$。这是一个开口向下的二次函数（上凸函数）。 上述等式即为：$\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}=f(x_2)$。

3. 利用凹凸性判定： 对于开口向下的函数（上凸函数），根据 Jensen 不等式，其两点函数值的算术平均应小于中点处的函数值： $\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}<f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)$ 结合已知条件得： $f(x_2)<f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)$ 由于 $x_i<a$，而 $f(x)$ 在 $(-\infty ,a)$ 上是单调递增的，因此可以由函数值的大小关系直接推导出自变量的大小关系。

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：引入参数与函数 设 $x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3=2a$。 因为 $x_i<y_i$，所以 $x_i<\frac{x_i+y_i}{2}=a$。 构造函数 $f(x)=x(2a-x)=-x^2+2ax$，其对称轴为 $x=a$，且在 $(-\infty ,a]$ 上单调递增。

第二步：利用已知条件建立等式 条件 $x_1{y}_1+x_3{y}_3=2x_2{y}_2$ 等价于： $f(x_1)+f(x_3)=2f(x_2)⟹f(x_2)=\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}$

第三步：利用凹凸性进行比较 由于 $f(x)=-x^2+2ax$ 的二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)=-2<0$，函数为上凸函数。

根据上凸函数的定义，对于不同的 $x_1,x_3$： $f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}$ 代入 $f(x_2)$ 得： $f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)>f(x_2)$

第四步：利用单调性脱去函数符号 因为 $x_1,x_3<a$，所以其算术平均值 $\frac{x_1+x_3}{2}<a$。 又已知 $x_2<a$，且 $f(x)$ 在 $(-\infty ,a)$ 上单调递增， 故由 $f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)>f(x_2)$ 得： $\frac{x_1+x_3}{2}>x_2⟹x_1+x_3>2x_2$

故选：A。

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💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 凹凸性是压轴题常客： 当题目中出现 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 与 $f(\frac{x_1+x_2}{2})$ 的比较时，第一反应应是二阶导数或二次函数的开口方向。

• 对称结构的简化： 本题中 $x+y=2a$ 的对称结构是换元的前提。

1. Jensen 不等式： - 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$（上凸），则 $f(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n})\ge \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$。

• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$（下凸），则 $f(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n})\le \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$。

1. 本题的物理意义： 若将 $x_i{y}_i$ 看作以 $x_i,y_i$ 为边的矩形面积。在周长固定的情况下，边长越接近（即 $x_i$ 越接近 $a$），面积越大。题目中 $x_2{y}_2$ 是另外两个面积的算术平均值，由面积函数的凸性可知，$x_2$ 必须比 $x_1,x_3$ 的平均值更靠近边缘（更小）。!

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷理-21
• 1984-全国卷理-19
• 1985-全国卷理-16