2021-上海卷-18 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角转化法、方程思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）18. 在 $△ABC$ 中，已知 $a=3,b=2c$。

（1）若 $A=\frac{2\pi }{3}$，求 $△ABC$ 的面积；

（2）若 $2\sin B-\sin C=1$，求 $△ABC$ 的周长。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问： - 已知 $a,A$ 以及 $b,c$ 的比例关系，利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 构造关于 $c$ 的方程。

• 求出 $b,c$ 后，利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 求解。 第二问： - 利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，由 $b=2c$ 得到 $\sin B=2\sin C$。
• 代入已知条件 $2\sin B-\sin C=1$ 求出 $\sin C$ 和 $\sin B$。
• 利用 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$ 求出 $\sin A$（注意 $\cos$ 符号的正负讨论）。
• 最后通过正弦定理求出边长，得到周长 $L=a+b+c$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $△ABC$ 的面积 由余弦定理得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 代入 $a=3,b=2c,A=\frac{2\pi }{3}$： $3^2=(2c{)}^2+c^2-2(2c)(c)\cos \frac{2\pi }{3}$ $9=4c^2+c^2-4c^2\times (-\frac{1}{2})$ $9=7c^2⟹c^2=\frac{9}{7},c=\frac{3\sqrt{7}}{7}$ 则 $b=2c=\frac{6\sqrt{7}}{7}$。 三角形面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times \frac{6\sqrt{7}}{7}\times \frac{3\sqrt{7}}{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{14}$

（2）求 $△ABC$ 的周长 由正弦定理及 $b=2c$ 得：$\sin B=2\sin C$。 代入 $2\sin B-\sin C=1$ 得： $2(2\sin C)-\sin C=1⟹3\sin C=1⟹\sin C=\frac{1}{3}$ 故 $\sin B=\frac{2}{3}$。 由于 $\sin B>\sin C$，则 $B>C$。且 $\sin B,\sin C$ 均为正值。 计算余弦值： $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$（$C$ 必为锐角，因为若 $C$ 为钝角，则 $B$ 更大，内角和超 $180^{\circ }$） $\cos B=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ 则 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$： $\sin A=\frac{2}{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}}{9}$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{3\times \frac{1}{3}}{\frac{4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}}{9}}=\frac{9}{4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}}=\frac{9(4\sqrt{2}\mp \sqrt{5})}{32-5}=\frac{4\sqrt{2}\mp \sqrt{5}}{3}$ 周长 $L=a+b+c=a+3c=3+(4\sqrt{2}\mp \sqrt{5})=3+4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}$。 (注：根据三角形两边之和大于第三边检验，两个解均符合题意)

✅【答案】

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(1) $a=3$

(2) $△ABC$ 的周长为 $3+4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}$（两解均符合题意）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 多解问题的讨论： 在已知 $\sin$ 值求 $\cos$ 值时，务必考虑角度的范围。本题中 $B$ 可能是钝角也可能是锐角，因此 $\cos B$ 有正负两解，导致周长有两个结果。

• 边角转化的灵活性： 题目给出 $b=2c$ 这种比例关系时，既可以联立余弦定理消元，也可以利用正弦定理转化为角度关系。

在利用正弦定理求角时，经常会出现“大边对大角”的约束。

1. 已知 $a,b,A$ 求 $B$： - 若 $a\ge b$，则 $B$ 必为锐角（唯一解）。

• 若 $a<b$，则 $B$ 可能有两解（一锐一钝），需满足 $b\sin A<a<b$。

2. 面积与周长的关系： 上海卷常将海伦公式或 $S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$（$r$ 为内切圆半径）作为填空题背景进行考查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2009-北京卷理-15
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形