2021-乙卷文-03 单-命题真假

本题导读

本题考查全称量词与存在量词，以及命题真伪的判定。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）已知命题 $p:\exists x\in \mathbf{R},\sin x<1$; 命题 $q:\forall x\in \mathbf{R},{\mathrm{e}}^{|x|}\ge 1$, 则下列命题中为真命题的是 ()

A. $p\wedge q$　　　　　　B. $\neg p\wedge q$　　　　　　C. $p\wedge \neg q$　　　　　　D. $\neg (p\vee q)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断命题 $p$ 的真假：是否存在 $x$ 使得 $\sin x<1$。
2. 判断命题 $q$ 的真假：对任意 $x\in \mathbf{R}$，${\mathrm{e}}^{|x|}\ge 1$ 是否恒成立。
3. 结合复合命题真值表得出结论。

✅【答案】

点击查看答案

${\mathrm{e}}^{|x|}\ge {\mathrm{e}}^0=1$ 恒成立，故命题 $q$ 为真命题

✍【详细解析】

Abstract

对于命题 $p$：因为正弦函数值域为 $[-1,1]$，显然存在 $x=0$ 使得 $\sin 0=0<1$，故命题 $p$ 为真命题。 对于命题 $q$：因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，有 $|x|\ge 0$，而指数函数 $y={\mathrm{e}}^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，所以 ${\mathrm{e}}^{|x|}\ge {\mathrm{e}}^0=1$ 恒成立，故命题 $q$ 为真命题。 因为命题 $p$ 为真命题，命题 $q$ 为真命题， 所以 $p\wedge q$ 为真命题。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：量词命题真假判定、复合命题真值表。
2. 核心方法：特称命题找一个特例即可，全称命题需证明恒成立。
3. 避坑指南：注意 $\sin x\le 1$ 与 $\sin x<1$ 的区别，后者只要不恒等于 1 即可满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：常用逻辑用语基础题。
2. 结论推广：熟练掌握基本初等函数的值域与单调性是判断量词命题真假的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-23 单-命题的否定与判断

• 1986-广东文-25 单-空间命题的真假
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题