2021-乙卷文-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 4,\\ x-y\le 2,\\ y\le 3,\end{array}$ 则 $z=3x+y$ 的最小值为 ()

A. 18　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域。
2. 将目标函数 $z=3x+y$ 转化为直线方程截距式，观察其几何意义。
3. 找出可行域的各个顶点，代入目标函数求出最小值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

画出约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 4\\ x-y\le 2\\ y\le 3\end{array}$ 对应的可行域。 三条边界直线的交点分别为： 由 $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ y=3\end{array}$ 得交点 $A(1,3)$； 由 $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y=3\end{array}$ 得交点 $B(5,3)$； 由 $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x-y=2\end{array}$ 相加得 $2x=6⟹x=3,y=1$，得交点 $C(3,1)$。 将顶点坐标依次代入目标函数 $z=3x+y$： 在点 $A(1,3)$ 处：$z=3(1)+3=6$； 在点 $B(5,3)$ 处：$z=3(5)+3=18$； 在点 $C(3,1)$ 处：$z=3(3)+1=10$。 因此，目标函数的最小值为 $6$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：准确作图、求出交点坐标、顶点代入法。
3. 避坑指南：作图时务必画准边界直线的截距，避免交点坐标计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常考题型。
2. 结论推广：线性目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-07 填-线性规划最值

• 2000-上海文-11 填-线性规划最值点
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值