2021-乙卷文-11 单-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）设 $B$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的上顶点, 点 $P$ 在 $C$ 上, 则 $|PB|$ 的最大值为 ()

A. $\frac{5}{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{6}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定椭圆的上顶点 $B$ 的坐标。
2. 设椭圆上的动点 $P$ 的参数坐标，利用两点间距离公式表示出 $|PB|$。
3. 通过三角函数的最值求出 $|PB|$ 的最大值。

✅【答案】

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在 $t=-\frac{1}{4}$ 处取得最大值

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$，可知 $a^2=5,b^2=1$，即 $b=1$。 上顶点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$。 设点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{5}\cos \theta ,\sin \theta )$，则： $|PB{|}^2=(\sqrt{5}\cos \theta -0{)}^2+(\sin \theta -1{)}^2$ $=5{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta -2\sin \theta +1$ $=5(1-{\sin }^2\theta )+{\sin }^2\theta -2\sin \theta +1$ $=-4{\sin }^2\theta -2\sin \theta +6$。 令 $t=\sin \theta \in [-1,1]$，设二次函数 $g(t)=-4t^2-2t+6$。 其对称轴为 $t=-\frac{-2}{2(-4)}=-\frac{1}{4}$。 因为抛物线开口向下，所以在 $t=-\frac{1}{4}$ 处取得最大值： $g\left(-\frac{1}{4}\right)=-4{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2-2\left(-\frac{1}{4}\right)+6=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+6=\frac{25}{4}$。 因此 $|PB|=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆参数方程、二次函数求最值。
2. 核心方法：利用三角换元将距离转化为关于正弦函数的二次函数。
3. 避坑指南：注意正弦函数的取值范围 $[-1,1]$，在顶点处取到极值时需验证是否在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线中距离最值问题的经典题型。
2. 结论推广：椭圆上动点到定点距离的最值常通过参数方程转化为三角函数或二次函数最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质
• 1977-福建卷-04