2021-乙卷文-12 单-导数极值

本题导读

本题考查导数与函数的极值，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）设 $a\ne 0$, 若 $x=a$ 是函数 $f(x)=a(x-a{)}^2(x-b)$ 的极大概值点，则 ()

A. $a<b$　　　　　　　B. $a>b$　　　　　　　C. $ab<a^2$　　　　　　　D. $ab>a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$。
2. 将 $x=a$ 代入导数中看是否为驻点，并利用极值点左右两侧导数符号的改变来确定 $a$ 与 $b$ 的大小关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a(x-a{)}^2(x-b)$。 求导得： $f^{\prime }(x)=a\cdot [2(x-a)(x-b)+(x-a{)}^2]=a(x-a)[2(x-b)+(x-a)]=a(x-a)(3x-2b-a)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得两个驻点 $x_1=a$ 和 $x_2=\frac{a+2b}{3}$。 因为 $x=a$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，所以当 $x$ 略小于 $a$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，略大于 $a$ 时 $f^{\prime }(x)<0$ （或通过导数符号变号判断）。 由于 $a\ne 0$，考察 $x$ 在 $a$ 附近的符号： 当 $x$ 从小于 $a$ 变化到大于 $a$ 时，若 $x=a$ 为极大值点，则 $f^{\prime }(x)$ 须由正变负。 注意到 $f^{\prime }(x)=a(x-a)(3x-a-2b)$，

• 在 $x=a$ 附近，$3x-a-2b\approx 2(a-b)$（代入 $x=a$），且 $a\ne 0$，该因子在 $a$ 两侧近似为非零常数 $2(a-b)$。
• 于是 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a$ 两侧的符号由 $a\cdot (x-a)\cdot 2(a-b)$ 决定，即 $\mathrm{sgn}{f}^{\prime }(x)=\mathrm{sgn}(a)\cdot \mathrm{sgn}(x-a)\cdot \mathrm{sgn}(a-b)$。
• $x=a$ 为极大值点要求：左侧（$x<a$）$f^{\prime }(x)>0$，右侧（$x>a$）$f^{\prime }(x)<0$。
• 左侧（$x<a$）：$\mathrm{sgn}{f}^{\prime }(x)=-\mathrm{sgn}(a)\mathrm{sgn}(a-b)$；右侧（$x>a$）：$\mathrm{sgn}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{sgn}(a)\mathrm{sgn}(a-b)$。
• 要左正右负，须 $\mathrm{sgn}(a)\mathrm{sgn}(a-b)<0$，即 $a$ 与 $a-b$ 异号：
• 若 $a>0$，则 $a-b<0\Rightarrow b>a>0$，两边乘 $a>0$ 得 $ab>a^2$；
• 若 $a<0$，则 $a-b>0\Rightarrow b<a<0$，此时 $|b|>|a|$，故 $ab=|a||b|>|a{|}^2=a^2$，亦得 $ab>a^2$。
• 综上恒有 $ab>a^2$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数极值判定。
2. 核心方法：求导求驻点，利用极值点两侧导数符号判定参数范围。
3. 避坑指南：注意多项式函数在重根处的导数符号变化规律，切勿漏掉参数正负对不等式方向的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数压轴小题的经典题型。
2. 结论推广：函数在某点取得极值的必要条件是该点导数为 0，充分条件是两侧导号异号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性
• 2012-广东理-04