2021-乙卷文-18 解-立几综合

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于综合法证明垂直、几何法计算体积的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）如图, 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是矩形, $PD\perp$ 底面 $ABCD$, $M$ 为 $BC$ 的中点, 且 $PB\perp AM$.

（1） 证明: 平面 $PAM\perp$ 平面 $PBD$;

（2） 若 $PD=DC=1$, 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.


🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用线面垂直的性质将 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ 转化为线线垂直，结合 $PB\perp AM$ 证明 $AM\perp$ 平面 $PBD$，进而证得面面垂直。
2. 根据矩形性质与直角三角形边长关系求出底面边长，最后代入棱锥体积公式计算。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{x}{2y}=\frac{1}{x}⟹x^2=2y^2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 证明：因为 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $AM\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PD\perp AM$. 又已知 $PB\perp AM$，且 $PD\cap PB=P$， 所以 $AM\perp$ 平面 $PBD$. 又因为 $AM\subset$ 平面 $PAM$， 所以 平面 $PAM\perp$ 平面 $PBD$.

（2） 设 $AD=x$. 因为底面 $ABCD$ 是矩形，$M$ 为 $BC$ 的中点，$DC=1$， 则在 $△ABM$ 和 $△DCM$ 中利用三角函数或相似关系： 由 $AM\perp$ 平面 $PBD$ 可知 $AM\perp BD$. 在矩形 $ABCD$ 中，\tan \angle ABM = \frac{AM \text{与} BD \text{的关系} }。 利用直角三角形相似：$△ABM\sim △DCB$， 可得 $\frac{AB}{DC}=\frac{BM}{CM}$。 因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，设 $AB=y,BC=x$，则 $BM=\frac{x}{2},CM=\frac{x}{2}$。 从而 $\frac{y}{1}=\frac{\frac{x}{2}}{1}$ 不对，应为 $△ABM\sim △D-\dots$ 由 $AM\perp BD$，可得 $\angle ABM+\angle BAM=90^{\circ }=\angle ABM+\angle CBM$（不对，$\angle ABM+\angle MAB=90^{\circ }$, 且 $\angle ABM+\angle DBC=90^{\circ }$）， 从而 $\angle MAB=\angle DBC$. 又因为 $\tan \angle MAB=\frac{BM}{AB}=\frac{x}{2y}$，$\tan \angle DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{x}$， 所以 $\frac{x}{2y}=\frac{1}{x}⟹x^2=2y^2$. 在 Rt$△PDB$ 中，$PD\perp$ 底面 $ABCD$，故 $PD\perp DB$， $P{B}^2=P{D}^2+B{D}^2$. 由 $AM\perp$ 平面 $PBD$ 知 $AM\perp PB$，在 Rt$△PAB$ 中， $P{A}^2+P{B}^2=A{B}^2$？不对，由直角三角形边长关系： 已知 $PD=1,DC=1$. 易求得 $y=1$（因为 $DC=1$ 时，由几何关系可得 $AB=1$ 或进一步解得 $x=\sqrt{2},y=1$）。 因此底面矩形面积 $S=AB\cdot BC=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$. 四棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}S\cdot PD=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times 1=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直判定、锥体体积计算。
2. 核心方法：线面垂直是证明面面垂直的核心桥梁。
3. 避坑指南：第(2)问中利用图形相似寻找边长关系时要准确对应三角形的锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题标准中档题。
2. 结论推广：矩形折叠或锥体中的垂直关系常通过建立线面垂直来简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2008-湖南卷理-17
• 2011-辽宁卷理-18