2021-北京卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查并集，以及区间表示。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷） 已知集合 $A=\{x\mid -1<x<1\}$，集合 $B=\{x\mid 0\le x\le 2\}$，则 $A\cup B=()$

A. $(-1,2)$　　　　B. $(-1,2]$　　　　C. $[0,1)$　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

识别集合类型：集合 $A$ 和 $B$ 均为连续的实数区间。

明确运算对象：本题考查的是并集 $A\cup B$，即要求将集合 $A$ 和集合 $B$ 中的所有元素合并在一起，组成一个新的集合（即求“总范围”）。

注意端点开闭：并集运算中，只要某个端点被至少一个集合包含（实心），在并集中就需要包含（实心）；只有两个集合都不包含的端点（或边界），才是空心。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接运算法（代数法）

明确集合范围：$A=\{x\mid -1<x<1\}$，即区间 $(-1,1)$；$B=\{x\mid 0\le x\le 2\}$，即区间 $[0,2]$。

求并集 $A\cup B$：

因为两个集合在 $0\le x<1$ 处有重叠部分（交集不为空），所以它们可以合并为一个连续的大区间。

取两个集合下界中的较小者作为并集的下界，即 $-1$，由于 $A$ 不包含 $-1$，保持开区间属性（$<$）。

取两个集合上界中的较大者作为并集的上界，即 $2$，由于 $B$ 包含 $2$，保持闭区间属性（$\le$）。

综合可得：$A\cup B=\{x\mid -1<x\le 2\}$。

转化为区间表示为：$(-1,2]$。

方法二：数轴分析法（直观推荐）

在数轴上画出集合 $A$：标出从 $-1$ 到 $1$ 的线段，两端均为空心圆圈。

在同一数轴上画出集合 $B$：标出从 $0$ 到 $2$ 的线段，两端均为实心点。注意 $0$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间，$2$ 在 $1$ 的右侧。

寻找并集区域：在数轴上，找出被集合 $A$ 或集合 $B$ 覆盖的“所有线段部分”（求阴影的总和）。

观察覆盖范围：最左端延伸到 $-1$（空心，因为 $A$ 没带走 $-1$，$B$ 也没覆盖到）；中间部分连续无断点；最右端延伸到 $2$（实心，因为 $B$ 包含了 $2$）。

合并线段，即为从 $-1$（不含）到 $2$（含）的区间，即 $(-1,2]$。

结论：对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心技巧：处理连续区间的交、并、补运算，强烈建议养成画数轴的习惯，做到“形数结合”，直观地观察线段的覆盖范围，极大地降低出错率。

易错辨析（端点取舍与符号混淆）：

并集的易错点在于交界处或端点处的开闭。只要有一个集合在某点是实心的（包含），并集在该点就是实心的。

此题中若求交集 $A\cap B$，则需找公共重叠部分，答案为 $[0,1)$。考场上一定要看清题目求的是“开口向上的 $\cup$（并）”还是“开口向下的 $\cap$（交）”，切勿混淆。

试题评价：本题主要考查集合并集的运算及区间的表示，属于高考卷必考的“送分题”，要求快速且绝对准确地拿下（2021年北京卷高考真题）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-01 单-集合并集
• 2008-浙江卷文-01 单-集合并集
• 2009-江西卷理-03