2021-北京卷-19 解-导数综合

本题导读

本题考查求导法则。核心在于求导法求切线、列表法求极值与单调区间的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）已知函数 $f(x)=\frac{3-2x}{x^2+a}$．

（1）若 $a=0$，求 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

🔍【思路分析】

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（1）求切线方程：

导数的几何意义即曲线在某点处切线的斜率。已知 $a=0$ 时，直接代入求出 $f(x)$。先计算切点坐标 $(1,f(1))$，再求导函数 $f^{\prime }(x)$，将 $x=1$ 代入求得斜率 $k=f^{\prime }(1)$。最后利用点斜式写出切线方程即可。

（2）求极值与最值：

函数在 $x=-1$ 处取得极值，根据极值的必要条件可知 $f^{\prime }(-1)=0$。据此可以反解出参数 $a$ 的值。

求出 $a$ 后，需将 $a$ 代回原函数，重新求导并因式分解，找出导函数变号的零点。通过列表分析 $f^{\prime }(x)$ 的正负，得出单调区间和极值。

注意点：题目要求的是“最大值和最小值”，而非“极大值和极小值”。因此在求出局部极值后，还需分析函数在无穷远处的极限或整体的值域分布，来论证局部极值即为全局最值。

✅【答案】

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(1) $4x+y-5=0$

(2) 增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(4,+\infty )$，减区间为 $(-1,4)$

最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{3-2x}{x^2}$。

对函数求导，根据商的求导法则：

$f^{\prime }(x)=\frac{(3-2x{)}^{\prime }\cdot x^2-(3-2x)\cdot (x^2{)}^{\prime }}{(x^2{)}^2}=\frac{-2x^2-(3-2x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2x^2-6x}{x^4}=\frac{2(x-3)}{x^3}$

将 $x=1$ 代入原函数与导函数：

切点纵坐标：$f(1)=\frac{3-2(1)}{1^2}=1$；

切线斜率：$k=f^{\prime }(1)=\frac{2(1-3)}{1^3}=-4$。

此时，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为：

$y-1=-4(x-1)$

整理得：$4x+y-5=0$。

（2）解：

对原函数 $f(x)=\frac{3-2x}{x^2+a}$ 求导：

$f^{\prime }(x)=\frac{-2(x^2+a)-(3-2x)\cdot 2x}{(x^2+a{)}^2}=\frac{-2x^2-2a-6x+4x^2}{(x^2+a{)}^2}=\frac{2x^2-6x-2a}{(x^2+a{)}^2}$

由题意，函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，故有 $f^{\prime }(-1)=0$：

$f^{\prime }(-1)=\frac{2(-1{)}^2-6(-1)-2a}{((-1{)}^2+a{)}^2}=\frac{2+6-2a}{(1+a{)}^2}=0$

解得 $2a=8⟹a=4$。

（注：此时分母 $(1+4{)}^2\ne 0$，符合题意）

将 $a=4$ 代回导函数，得：

$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-6x-8}{(x^2+4{)}^2}=\frac{2(x^2-3x-4)}{(x^2+4{)}^2}=\frac{2(x+1)(x-4)}{(x^2+4{)}^2}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=4$。

由于分母 $(x^2+4{)}^2>0$ 恒成立，所以导数 $f^{\prime }(x)$ 的符号完全由分子 $2(x+1)(x-4)$ 决定。

列表分析 $f(x)$ 的单调性与极值：

x	(−∞,−1)	−1	(−1,4)	4	(4,+∞)
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\text{neqarrow}$ 单调递增	极大值	$\searrow$ 单调递减	极小值	$\text{neqarrow}$ 单调递增

由表格可知：

函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(4,+\infty )$；

单调递减区间为 $(-1,4)$。

最值分析：

函数在 $x=-1$ 处取得极大值：$f(-1)=\frac{3-2(-1)}{(-1{)}^2+4}=\frac{5}{5}=1$；

函数在 $x=4$ 处取得极小值：$f(4)=\frac{3-2(4)}{4^2+4}=\frac{-5}{20}=-\frac{1}{4}$。

因为当 $x<\frac{3}{2}$ 时，$3-2x>0$，从而 $f(x)>0$，所以 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,4)$ 内的最大值即为 $f(-1)=1$；

当 $x>\frac{3}{2}$ 时，$3-2x<0$，从而 $f(x)<0$。且当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 0$（从下方趋近于 $0$）。

所以极小值 $f(4)=-\frac{1}{4}$ 也是全局的最小值，极大值 $f(-1)=1$ 也是全局的最大值。

故函数 $f(x)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 商的求导法则：$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，运算中极易由于负号分配错误导致翻车，需要加倍小心。

2. 极值的必要条件：若可导函数在 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f^{\prime }(x_0)=0$。此条件常用于反解参数。

3. 极值与最值的区别：极大值不一定大于极小值，也不一定是整个函数的最大值。在求全局最值时，除了比较各个极值点外，还要分析函数的边界值、无穷远处的极限或正负性，来排除边缘趋向于无穷的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2009-辽宁卷-07
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性