2021-天津卷-03 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图像与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）3．函数 $y=\frac{\ln |x|}{x^2+2}$ 的图像大致为（ ）

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于“依式辨图”题型。解决此类问题的通用策略是**“先定性，后定量；多用排除法”**。

通常的分析步骤如下：

1. 看定义域与奇偶性：判断图像的对称性。若为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称；若为奇函数，图像关于原点对称。

2. 看特殊点或特殊区间的符号：取容易计算的区间（如 $(0,1)$ 或 $(1,+\infty )$），判断函数值的正负，看图像是在 $x$ 轴上方还是下方。

3. 看单调性与极值（进阶）：求导分析函数的单调区间（本题通过前两步即可选出答案，无需此步）。

4. 看极限趋势（进阶）：分析当 $x\to 0$ 或 $x\to \infty$ 时，函数值的趋向。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\frac{\ln |x|}{x^2+2}$。

第一步：分析定义域与奇偶性

因为含有对数函数 $\ln |x|$，所以 $|x|>0$，即 $x\ne 0$。函数定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。

计算 $f(-x)$：

$f(-x)=\frac{\ln |-x|}{(-x{)}^2+2}=\frac{\ln |x|}{x^2+2}=f(x)$

由于 $f(-x)=f(x)$，所以函数 $f(x)$ 为偶函数，其图像必然关于 $y$ 轴对称。

根据这一性质，可以排除不对称或关于原点对称的选项（原题中排除 A、C 选项）。

第二步：分析特殊区间的函数值符号

考查当 $x\in (0,1)$ 时的函数值符号：

此时 $0<x<1$，所以分子 $\ln |x|=\ln x<0$；

而分母 $x^2+2$ 恒大于 $0$（即 $x^2+2>0$）。

因此，在该区间上，商 $\frac{\ln |x|}{x^2+2}<0$，即 $f(x)<0$。

这意味着在 $(0,1)$ 区间内，函数的图像必须在 $x$ 轴的下方。

根据这一性质，可以排除在 $(0,1)$ 区间图像在 $x$ 轴上方的选项（原题中排除 D 选项）。

综上，结合图像的对称性和局部符号，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

高考中“依式辨图”题的“四步判断法”：

1. 域与奇偶：定对称（排一半选项）。

2. 正负区间：定上下（代入 $x=1,x=\frac{1}{2}$ 等特值排错）。

3. 极限趋势：定首尾（看 $x\to +\infty$ 或 $x\to 0$ 时 $y$ 往哪走）。

4. 导数极值：定起伏（实在区分不开时，再求导看单调性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

为了更深刻地理解这个函数的全貌，我们可以进一步分析它的极限趋势（这在更难的题目中经常用到）：

1. 当 $x\to +\infty$ 时：分子 $\ln x$ 趋于 $+\infty$，分母 $x^2+2$ 趋于 $+\infty$。但多项式增长速度远快于对数函数（即 $x^2\gg \ln x$），因此整体极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^2+2}=0$。说明图像在第一象限会无限贴近于 $x$ 轴的正半轴（$x$ 轴是渐近线）。

2. 当 $x\to 0$ 时：分母 $x^2+2\to 2$，分子 $\ln |x|\to -\infty$。因此整体极限为 $-\infty$。说明 $y$ 轴是函数的垂直渐近线，且图像向下无限延伸。

   结合我们前面得出的“偶函数”和“$(0,1)$ 负区间、$(1,+\infty )$ 正区间”的性质，就能在大脑中清晰地勾勒出这个函数宛如“倒钟罩加上两根向上的触须最后平缓落下”的完整图像。!

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2012年上海卷理-21
• 2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性