2021-天津卷-05 单-指数对数比较

本题导读

本题考查指数函数的图像与性质，以及对数函数的图像与性质。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）5．设 $a={\log }_{2}0.3$，$b={\log }_{\frac{1}{2}}0.4$，$c=0.4^{0.3}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为（ ）

A. $a<b<c$　　B. $c<a<b$　　C. $b<c<a$　　D. $a<c<b$

🔍【思路分析】

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比较不同底数、不同指数的对数与幂的大小，最常用、最高效的方法是**“找中间量法”**（也叫“桥梁法”）。

通常我们选取的中间量是 $0$、$\frac{1}{2}$、$1$ 等。

本题解题思路如下：

1. 定位 $a$：底数 $2>1$，真数 $0.3<1$，利用对数函数的性质，与 ${\log }_{2}1$ 比较，判断出它与 $0$ 的关系。

2. 定位 $b$：底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，真数 $0.4\in (0,1)$，可以直接与 ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$ 比较，或者换底后与 $1$ 比较，判断出它与 $1$ 的关系。

3. 定位 $c$：底数 $0.4\in (0,1)$，指数 $0.3>0$，利用指数函数的性质与 $0.4^0$ 比较，判断出它的范围。

   将三个数分别定位到不同的区间后，大小关系自然明了。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $a$ 的范围

对于 $a={\log }_{2}0.3$，考察以 $2$ 为底的对数函数 $y={\log }_{2}x$。

因为底数 $2>1$，所以函数单调递增。

又因为真数 $0<0.3<1$，所以：

$a={\log }_{2}0.3<{\log }_{2}1=0$

即 $a<0$。

第二步：分析 $b$ 的范围

法一（换底化同法）：

将底数化为大于 $1$ 的数：

$b={\log }_{\frac{1}{2}}0.4=\frac{{\log }_{2}0.4}{{\log }_2\frac{1}{2}}=-{\log }_{2}0.4={\log }_2(0.4^{-1})={\log }_2\frac{5}{2}$

因为函数 $y={\log }_{2}x$ 单调递增，且 $\frac{5}{2}>2$，所以：

$b={\log }_2\frac{5}{2}>{\log }_{2}2=1$

即 $b>1$。

法二（直接利用单调性）：

考察底数为 $\frac{1}{2}$ 的对数函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$。

因为底数 $0<\frac{1}{2}<1$，所以函数单调递减。

又因为真数 $0<0.4<0.5=\frac{1}{2}$，所以：

$b={\log }_{\frac{1}{2}}0.4>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$

即 $b>1$。

第三步：分析 $c$ 的范围

对于 $c=0.4^{0.3}$，考察以 $0.4$ 为底的指数函数 $y=0.4^x$。

因为底数 $0<0.4<1$，所以函数单调递减。

又因为指数 $0.3>0$，所以：

$c=0.4^{0.3}<0.4^0=1$

并且根据指数函数性质，恒有 $0.4^{0.3}>0$。

所以 $0<c<1$。

第四步：综合排序

综上所述，我们得到三个数的区间定位：

• $a\in (-\infty ,0)$

• $c\in (0,1)$

• $b\in (1,+\infty )$

显然：$a<0<c<1<b$，即 $a<c<b$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

遇到指对幂比较大小的题目，脑海中应立即启动以下流程：

1. 能否化同底/同指？ 如果能，直接利用函数的单调性比较（如 $2^{0.3}$ 与 $2^{0.4}$）。

2. 不能化同时，找中间量（0和1是永远的VIP）。

   • 对数比 $0$、$1$：同号（底数和真数都在 $(0,1)$ 或都在 $(1,+\infty )$）则对数值 $>0$；异号则对数值 $<0$。然后与 ${\log }_{a}a=1$ 比较。

   • 指数比 $0$、$1$：任何正数的正数次幂 $>0$。底数 $>1$ 时，正次幂 $>1$，负次幂 $<1$；底数 $\in (0,1)$ 时相反。

本题是一道非常标准的**“三区间定位法”**模型题，熟练掌握后可实现 $30$ 秒内口算快速求解。

在部分高考压轴小题中，仅靠 $0$ 和 $1$ 作为中间量可能无法区分大小（例如两个数同时落在了 $(0,1)$ 区间内）。此时需要掌握以下进阶技巧：

1. 寻找更精细的中间量：

   当 $0$ 和 $1$ 不够用时，可以尝试 $\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2$ 等特殊值。

   示例：比较 $x={\log }_{3}2$ 与 $y=0.5$。由于它们都在 $(0,1)$ 之间，可利用 ${\log }_{3}2>{\log }_3\sqrt{3}=0.5$，瞬间得出 $x>y$。

2. 变形与作商法（对数乘法变形）：

   对于底数和真数错位的对数，可以通过换底公式转化为真数相同的对数进行比较。

   示例：比较 ${\log }_{2}3$ 和 ${\log }_{3}5$。利用放缩：${\log }_{2}3={\log }_{8}27>{\log }_{8}25$，而 ${\log }_{3}5={\log }_{9}25$。因为底数 $8<9$，所以 ${\log }_{8}25>{\log }_{9}25$，即 ${\log }_{2}3>{\log }_{3}5$。

3. 同构法与构造函数（导数法）：

   对于复杂的指对数混合比较，常常需要构造如 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 或 $f(x)=x{e}^x$ 的函数，利用导数研究其单调性，这是解决高难度指对幂比大小的“终极杀器”。

   示例：比较 $3^4$ 与 $4^3$。两边同取自然对数转化为比较 $4\ln 3$ 与 $3\ln 4$，即比较 $\frac{\ln 3}{3}$ 与 $\frac{\ln 4}{4}$。通过构造 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 求导可知其在 $(e,+\infty )$ 单调递减，故 $f(3)>f(4)$，从而得出 $3^4>4^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-02
• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象