2021-天津卷-08 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）8．已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 $A$、$B$ 两点，交双曲线的渐近线于 $C$、$D$ 两点，若 $|CD|=\sqrt{2}|AB|$，则双曲线的离心率为（ ）

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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处理此类圆锥曲线交汇问题，核心步骤是**“翻译条件”**并将其转化为关于 $a,b,c$ 的等式：

1. 寻找公共焦点：设抛物线和双曲线的公共焦点（即双曲线的右焦点）坐标为 $(c,0)$。

2. 确定抛物线准线：根据抛物线焦点为 $(c,0)$，可推知其准线方程为 $x=-c$（恰好过双曲线的左焦点）。

3. 求弦长 $|AB|$（双曲线通径）：将准线 $x=-c$ 代入双曲线方程，求出纵坐标 $y$，从而得到截双曲线的弦长 $|AB|$。由于该直线过焦点且垂直于实轴，实际上 $|AB|$ 就是双曲线的通径长 $\frac{2b^2}{a}$。

4. 求弦长 $|CD|$：将准线 $x=-c$ 代入渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$，求出交点 $C,D$ 的纵坐标，进而得到线段长 $|CD|$。

5. 构建等式解离心率：利用已知条件 $|CD|=\sqrt{2}|AB|$ 建立关于 $a,b,c$ 的关系式，再结合 $c^2=a^2+b^2$ 消去 $b$，最终求得离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定焦点与准线方程

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(c,0)$，其中 $c^2=a^2+b^2$。

因为双曲线右焦点与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点重合，所以抛物线的焦点坐标也是 $(c,0)$。

根据抛物线性质可知， $\frac{p}{2}=c$。

故抛物线的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$，即 $x=-c$。

第二步：求截双曲线的弦长 $|AB|$

将直线 $x=-c$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 得：

$\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

解得：

\frac{y^2}{b^2} = \frac{c^2}{a^2} - 1 = \frac{c^2 - a^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2}$$$$y^2 = \frac{b^4}{a^2}$$$$y = \pm \frac{b^2}{a}

所以交点 $A,B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^2}{a}$ 和 $-\frac{b^2}{a}$，因此弦长为：

$|AB|=\frac{2b^2}{a}$

(注：由于 $x=-c$ 恰好过双曲线左焦点，此即为熟知的双曲线“通径”长。)

第三步：求截渐近线的弦长 $|CD|$

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

将直线 $x=-c$ 代入渐近线方程，得：

$y=\pm \frac{bc}{a}$

所以交点 $C,D$ 的纵坐标分别为 $\frac{bc}{a}$ 和 $-\frac{bc}{a}$，因此弦长为：

$|CD|=\frac{2bc}{a}$

第四步：利用关系式求离心率

已知 $|CD|=\sqrt{2}|AB|$，代入前面求得的弦长表达式：

$\frac{2bc}{a}=\sqrt{2}\cdot \frac{2b^2}{a}$

两边同时约去非零因式 $\frac{2b}{a}$，得到：

$c=\sqrt{2}b$

两边平方得：

$c^2=2b^2$

又因为在双曲线中 $b^2=c^2-a^2$，代入上式：

c^2 = 2(c^2 - a^2)$$$$c^2 = 2c^2 - 2a^2 \implies c^2 = 2a^2

因此，双曲线的离心率 $e$ 为：

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{2}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 焦点共用模型：当题目中出现“焦点重合”时，其实质是统一两者特征参数（例如双曲线的 $c$ 就是抛物线的 $\frac{p}{2}$）。

2. “通径”二级结论：过双曲线（或椭圆）的焦点且垂直于实轴（或长轴）的弦称为“通径”，其长度公式恒为 $l=\frac{2b^2}{a}$。本题准线 $x=-c$ 恰好过左焦点，如果熟记该结论，可省去第二步的联立计算，直接写出 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$。

3. 离心率齐次化方程：求解离心率 $e$ 的根本思路是找到关于 $a,b,c$ 的齐次方程（每一项关于 $a,b,c$ 的次数相同），然后利用 $b^2=c^2-a^2$ 消去 $b$，将方程转化为只含有 $\frac{c}{a}$ 的关系式。

在本题中，我们推导出 $c^2=2b^2$，结合 $c^2=a^2+b^2$ 可以得到 $a^2=b^2$，即 $a=b$。

实半轴长与虚半轴长相等的双曲线称为等轴双曲线。

等轴双曲线具有许多优美的几何性质，常在高考中作为背景考查：

1. 方程形式：$x^2-y^2=a^2$。

2. 离心率：离心率恒定，$e=\sqrt{2}$。（看到 $e=\sqrt{2}$ 就要条件反射地想到等轴双曲线）。

3. 渐近线：两条渐近线互相垂直，方程为 $y=\pm x$。

4. 反比例函数背景：如果将等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$ 绕原点旋转 $45^{\circ }$，就会得到熟悉的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$。这也是反比例函数图像是双曲线的原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标