2021-新高考II卷-02 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则 $A\cap ({\complement }_{U}B)=$（ ）

A. $\{3\}$　　　　　　B. $\{1,6\}$　　　　　　C. $\{5,6\}$　　　　　　D. $\{1,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由内而外运算：先处理括号内的补集运算 ${\complement }_{U}B$。
2. 执行补集运算：在全集 $U$ 中剔除属于集合 $B$ 的所有元素，得到 ${\complement }_{U}B$。
3. 执行交集运算：寻找集合 $A$ 与上一步所得补集的公共元素。
4. 比对选项：得出最终结果并勾选正确答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算集合 $B$ 在全集 $U$ 中的补集 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $B=\{2,3,4\}$。 根据补集的定义 ${\complement }_{U}B=\{x\in U\mid x\notin B\}$： 从 $U$ 中去掉 $2,3,4$ 后，剩余元素为 $1,5,6$。 故 ${\complement }_{U}B=\{1,5,6\}$。

第二步：计算集合 $A$ 与该补集的交集 已知集合 $A=\{1,3,6\}$，上步得 ${\complement }_{U}B=\{1,5,6\}$。 求 $A\cap ({\complement }_{U}B)$ 即寻找两个集合中都出现的元素：

• 元素 $1$：在 $A$ 中，也在 ${\complement }_{U}B$ 中；
• 元素 $3$：在 $A$ 中，但不在 ${\complement }_{U}B$ 中；
• 元素 $6$：在 $A$ 中，也在 ${\complement }_{U}B$ 中。 因此，公共元素为 $1$ 和 $6$。 即 $A\cap ({\complement }_{U}B)=\{1,6\}$。

第三步：得出结论 对比选项，结果与 B 选项一致。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算顺序：处理集合混合运算时，遵循“由括号内到括号外”的原则，类似于代数运算的优先级。
2. 核心定义：

• 补集 (${\complement }_{U}B$)：取全集 $U$ 中“剩下的”部分。
• 交集 ($\cap$)：取“共有的”部分。

3. 避坑指南：

• 元素遗漏：在求补集时，务必对照全集 $U$ 逐一核对，不要漏掉如 $5,6$ 这样在 $B$ 中未出现但在 $U$ 中存在的元素。
• 符号混淆：不要将交集符号 $\cap$（向下开口，取重合）误认作并集符号 $\cup$（向上开口，取合并）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于元素较多或关系复杂的题目，可以尝试画 Venn 图。将元素填入对应的区域，能直观地看出补集和交集的重叠位置。
• 变式思考：如果题目求的是 $({\complement }_{U}A)\cup B$，结果是什么？ (提示：先求 ${\complement }_{U}A=\{2,4,5\}$，再与 $B=\{2,3,4\}$ 取并集，结果为 $\{2,3,4,5\}$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-01 单-补集与交集
• 2000-新课标理-01 单-映射的概念
• 2004-北京卷理-01 单-集合的补集运算