2021-新高考I卷-06 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）若 $\tan \theta =-2$，则 $\frac{\sin \theta (1+\sin 2\theta )}{\sin \theta +\cos \theta }=$（ ）

A. $-\frac{6}{5}$　　　　　　B. $-\frac{2}{5}$　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　D. $\frac{6}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 结构识别与化简：分子中的 $1+\sin 2\theta$ 是三角变换中的高频结构。通过利用 $1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ 和 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，可以将其配方为完全平方式 $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$，从而与分母进行约分。
2. 齐次化处理：约分后得到的式子是 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 的二次齐次式。利用“除以 1”的技巧，将分母看作 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$，进而通过分子分母同时除以 ${\cos }^2\theta$ 实现“切弦化”。
3. 代值计算：将 $\tan \theta =-2$ 代入转化后的正切表达式中，求得最终数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简分子中的核心项 利用同角三角函数基本关系 $1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ 和二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$： $1+\sin 2\theta ={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$

第二步：对原分式进行约分 将化简后的结构代入原式： $\frac{\sin \theta (1+\sin 2\theta )}{\sin \theta +\cos \theta }=\frac{\sin \theta (\sin \theta +\cos \theta {)}^2}{\sin \theta +\cos \theta }$ 由于 $\tan \theta =-2\ne -1$，可知 $\sin \theta +\cos \theta \ne 0$，约分得： $=\sin \theta (\sin \theta +\cos \theta )={\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta$

第三步：利用齐次化思想转化 将 ${\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta$ 看作分母为 1 的分式，并利用 $1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ 进行代换： ${\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta =\frac{{\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }$ 分子分母同时除以 ${\cos }^2\theta$： $=\frac{\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{\sin \theta \cos \theta }{{\cos }^2\theta }}{\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}=\frac{{\tan }^2\theta +\tan \theta }{{\tan }^2\theta +1}$

第四步：代入 $\tan \theta =-2$ 计算 将 $\tan \theta =-2$ 代入上式： $=\frac{(-2{)}^2+(-2)}{(-2{)}^2+1}=\frac{4-2}{4+1}=\frac{2}{5}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心模型：处理“已知 $\tan \theta$ 求 $\sin ,\cos$ 混合式”的问题，核心在于齐次化。

• 若式子是分式且分子分母次数相同（如一次比一次，二次比二次），直接除以 $\cos$ 的对应幂次即可。
• 若式子不是分式（如本题化简后的结果），需手动构造分母为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$。

2. 经典结构储备：熟练掌握 $1\pm \sin 2\theta =(\sin \theta \pm \cos \theta {)}^2$。这一变换在求值、化简以及判断单调性题目中极度常用。
3. 避坑指南：

• 约分前提：在解答题中约分需交代分母不为 0。本题中 $\tan \theta =-2$ 决定了 $\sin \theta \ne -\cos \theta$。
• 计算细节：代入负数时务必加括号，注意 $(-2{)}^2$ 与 $-2^2$ 的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以在第二步结束后，利用 $\tan \theta =-2$ 结合 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 解出 ${\sin }^2\theta$ 和 $\sin \theta \cos \theta$ 的具体数值，但计算量相对较大，不如齐次化法简洁。
• 变式思考：如果题目求的是 $\cos 2\theta$ 的值，该如何利用 $\tan \theta =-2$ 求解？ (提示：利用 $\cos 2\theta =\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 即可)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-09
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2002-大纲理-17 解-同角三角函数基本关系