2021-浙江卷-03 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）3. 已知非零向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，则“$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$”是“$\vec{a}=\vec{b}$”的（ ）

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

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判断“$p$ 是 $q$ 的什么条件”，需要分别判断 $p\Rightarrow q$（充分性）和 $q\Rightarrow p$（必要性）是否成立。

• 必要性探讨（后推前）： 如果 $\vec{a}=\vec{b}$，两边同乘向量 $\vec{c}$，结论是否成立？显然成立。
• 充分性探讨（前推后）： 由 $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$，移项提取公因式可得 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0$。两个非零向量的数量积为 $0$，说明它们互相垂直或者其中一个是零向量。这并不能唯一确定 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$，存在差向量与 $\vec{c}$ 垂直的反例。

✍【详细解析】

Abstract

必要性证明： 若 $\vec{a}=\vec{b}$，则显然 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$。 此时 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{0}\cdot \vec{c}=0$， 即 $\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{c}=0$，从而有 $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$ 成立。 因此，“$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$”是“$\vec{a}=\vec{b}$”的必要条件。

充分性反证（结合几何意义）： 如图所示，假设存在一点 $O$，且 $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$。 若 $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$，则 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0$，即 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$。 因为 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为非零向量，这表示向量 $\overrightarrow{BA}$ 与向量 $\overrightarrow{OC}$ 垂直，即 $BA\perp OC$。 只要点 $A,B$ 不重合（即 $\vec{a}\ne \vec{b}$），但连线 $AB$ 垂直于 $OC$，等式 $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$ 依然成立。 所以，“$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$”推不出“$\vec{a}=\vec{b}$”，不是充分条件。

综上所述，“$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$”是“$\vec{a}=\vec{b}$”的必要不充分条件。 故选 B。

✅【答案】

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B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量运算的大忌——消去律不成立： 实数运算中，若 $ac=bc$ 且 $c\ne 0$，则必定有 $a=b$。但在向量数量积中，“$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$ 不能直接约去向量 $\vec{c}$”！它的本质是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的“投影”相等，或者它们的差向量与 $\vec{c}$ 垂直，千万不能像实数那样随意约分。
• 充要条件的判定口诀： “前推后是充分，后推前是必要”。在判断充分性时，寻找“反例”是最高效的破题手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2004-湖北理-04 单-充分条件与必要条件的判定
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算