2021-浙江卷-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）5. 若实数 $x,y$ 满足约束条件

$$\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ x-y\le 0\\ 2x+3y-1\le 0\end{array}$$

则 $z=x-\frac{1}{2}y$ 的最小值是（ ）

A. $-2$　　　　　　B. $-\frac{3}{2}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{1}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

解决线性规划问题的标准流程——“画、移、求”：

1. 画（画可行域）： 将不等式组转化为三条直线，在平面直角坐标系中画出它们围成的封闭多边形区域（注意边界是虚线还是实线，本题带有等号，均为实线）。
2. 移（化直平移）： 把目标函数 $z=x-\frac{1}{2}y$ 变形为斜截式 $y=kx+b$ 的形式，即 $y=2x-2z$。此时直线的斜率为 $2$，纵截距为 $-2z$。 ⚠️ 核心陷阱：要求 $z$ 的最小值，因为纵截距是 $-2z$，所以你需要让纵截距 $-2z$ 取得最大值（即直线平移到最上方）。
3. 求（求极值点）： 找出斜率为 $2$ 的直线向上平移时，最后离开可行域的那个顶点，联立方程求出该点坐标，代入 $z$ 的表达式即可。

✍【详细解析】

Abstract

首先，在平面直角坐标系中画出约束条件对应的可行域：

将目标函数 $z=x-\frac{1}{2}y$ 转化为斜截式方程： $y=2x-2z$ 这是一组斜率为 $2$，纵截距为 $-2z$ 的平行直线系。 当直线 $y=2x-2z$ 向上平移时，纵截距 $-2z$ 变大，从而 $z$ 变小。 观察可行域可知，当直线经过区域最上方的顶点（即直线 $x=-1$ 与直线 $2x+3y-1=0$ 的交点）时，纵截距取得最大值，$z$ 取得最小值。

联立方程组求交点 $A$：

$$\{\begin{array}{l}x=-1\\ 2x+3y-1=0\end{array}$$

将 $x=-1$ 代入第二个方程得：$2(-1)+3y-1=0⟹3y=3⟹y=1$。 解得交点坐标为 $A(-1,1)$。

将交点 $A(-1,1)$ 的坐标代入目标函数： $z=-1-\frac{1}{2}\times 1=-\frac{3}{2}$

因此，$z$ 的最小值为 $-\frac{3}{2}$。 故选 B。

✅【答案】

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B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线性规划的最大坑点——符号反转： 当目标函数中 $y$ 的系数为正时（如 $z=2x+y⟹y=-2x+z$），截距最大则 $z$ 最大；但当 $y$ 的系数为负时（如本题 $z=x-\frac{1}{2}y⟹y=2x-2z$），截距最大对应 $z$ 最小，截距最小对应 $z$ 最大。考场上一定要把式子化成 $y=kx+b$ 再去判断平移方向，切忌靠直觉。
• 找交点的捷径： 如果考场上画图不够精确看不出是哪个交点，可以直接把可行域的所有顶点坐标（通常是解三个二元一次方程组得到三个点）全部求出来，分别代入目标函数算一遍，最大的就是最大值，最小的就是最小值，这种“代入检验法”最不容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题
• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2008-大纲卷II理-05