2021-浙江卷-11 填-赵爽弦图

本题导读

本题考查勾股定理，以及面积计算。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明。弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。若直角三角形直角边的长分别是 $3$，$4$，记大正方形的面积为 $S_1$，小正方形的面积为 $S_2$，则 \frac{S_1}{S_2} =$$\underline{\quad\quad\quad}.

解决“弦图”问题的核心是看清大、小正方形与直角三角形边长之间的对应关系：

1. 大正方形： 其边长等于直角三角形的斜边。

2. 小正方形： 其边长等于直角三角形两条直角边之差的绝对值。

3. 面积关系： 大正方形面积 = 4个直角三角形面积 + 小正方形面积。

已知直角三角形的两直角边分别为 $a=3$，$b=4$。

1. 求大正方形面积 $S_1$： 大正方形的边长即为直角三角形的斜边 $c$。 根据勾股定理：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。 则大正方形面积 $S_1=c^2=5^2=25$。

2. 求小正方形面积 $S_2$： 方法一（边长法）： 小正方形的边长等于两条直角边之差，即 $b-a=4-3=1$。 则小正方形面积 $S_2=1^2=1$。 方法二（面积分割法）： $S_2=S_1-4\times S_{\text{三角形}}=25-4\times (\frac{1}{2}\times 3\times 4)=25-24=1$。

3. 求比值： $\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{1}=25$。

故答案为：$25$。

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✍【详细解析】

Abstract

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💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数学文化与几何模型： 弦图是高考中“数学文化”类题目的常客。除了面积计算，还常结合三角函数考查（例如：直角三角形的一个锐角为 $\theta$，则大正方形面积为 $1$，四个直角三角形面积之和即为 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$）。
• 快速计算技巧： 在弦图模型中，设直角边为 $a,b(b>a)$，斜边为 $c$，则：

• $S_1=c^2=a^2+b^2$
• $S_2=(b-a{)}^2=a^2+b^2-2ab$
• 这种结构在处理解析几何里的离心率或向量模长时非常有用。

赵爽弦图实际上直观地展示了代数中的完全平方公式： $(b-a{)}^2=b^2+a^2-2ab$ 对应到几何图形上： 小正方形面积 = 大正方形面积 - 4个直角三角形面积 即：$(b-a{)}^2=c^2-4\times (\frac{1}{2}ab)=a^2+b^2-2ab$。 这种形数结合的思想是高考数学中“转化与化归”思想的重要体现。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

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