2021-浙江卷-18 解-三角综合

本题导读

本题考查辅助角公式。核心在于恒等变换法、整体换元法 (t = ωx + φ)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）18. 设函数 $f(x)=\sin x+\cos x(x\in \mathbf{R})$。

（1）求函数 $y={\left[f(x+\frac{\pi }{2})\right]}^2$ 的最小正周期；

（2）求函数 $y=f(x)f(x-\frac{\pi }{4})$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值。

1. 基础变形： 首先利用辅助角公式化简 $f(x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$。
2. 第一问： - 将 $x+\frac{\pi }{2}$ 代入 $f(x)$。

• 利用平方关系和二倍角降幂公式 $2{\sin }^2\theta =1-\cos 2\theta$ 进行化简。
• 根据 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期。

3. 第二问： - 展开 $f(x)f(x-\frac{\pi }{4})$，利用积化和差或基本的三角展开进行整合成单角形式。

• 根据 $x$ 的范围推导整体角（相角）的范围。

• 观察正弦函数在该范围内的走势，确定最大值点。

已知 $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$。

（1）求最小正周期 $f(x+\frac{\pi }{2})=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin (x+\frac{3\pi }{4})$ 则： $y={\left[\sqrt{2}\sin (x+\frac{3\pi }{4})\right]}^2=2{\sin }^2(x+\frac{3\pi }{4})$ 利用降幂公式 $2{\sin }^2\theta =1-\cos 2\theta$： $y=1-\cos (2x+\frac{3\pi }{2})=1-\sin 2x$ 所以 $\omega =2$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（2）求在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值 $y=f(x)f(x-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})\cdot \sqrt{2}\sin (x)$ $y=2\sin (x+\frac{\pi }{4})\sin x=2(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x)\sin x$ $y=\sqrt{2}{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x\cos x$ 利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 和倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$： $y=\sqrt{2}\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 再次合并辅助角： $y=\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}$

确定范围： 因为 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，所以 $2x\in [0,\pi ]$。 进而得 $2x-\frac{\pi }{4}\in [-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$。 当整体角 $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ 时（此时 $x=\frac{3\pi }{8}$，在区间内），$\sin (2x-\frac{\pi }{4})$ 取得最大值 $1$。 所以 $y_{\max }=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。

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待补

✅【答案】

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(1) $\pi$

(2) $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

待补（解析缺失）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化简公式的熟练度： 辅助角公式 $\sin x\pm \cos x=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})$ 在浙江卷中出现频率极高，建议直接作为常识记住，省去推导时间。
• 区间最值的陷阱： 很多同学求出 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\dots$ 后直接认为最大值就是 $1+\dots$，这是不严谨的。必须先推导 $2x-\frac{\pi }{4}$ 的范围，确认 $\frac{\pi }{2}$ 是否落在该范围内。如果区间很窄不包含 $\frac{\pi }{2}$，则最大值可能在端点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-15
• 2018-北京卷文-16 解-二倍角公式
• 1993-新高考理-01