2021-甲卷文-06 单-对数模型

本题导读

本题考查对数的定义与运算，以及对数模型应用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $L$ 和小数记录法的数据 $V$ 满足 $L=5+\lg V$．已知某同学视力的五分记录法的数据为 $4.9$，则其视力的小数记录法的数据约为（　　）$(\sqrt[10]{10}\approx 1.259)$

A. $1.5$　　　　　　B. $1.2$　　　　　　C. $0.8$　　　　　　D. $0.6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入数据解对数方程：将已知的五分记录法数据 $L=4.9$ 代入模型公式 $L=5+\lg V$，解出 $\lg V$ 的值。

2. 对数化指数：根据对数的定义，将 $\lg V=y$ 转化为指数形式 $V=10^y$。

3. 近似计算与估算：利用题目给定的近似值 $\sqrt[10]{10}\approx 1.259$，将计算出的指数表达式化简并求倒数，通过估算得出最接近的选项。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

1. 代入公式求 $\lg V$：

已知转换公式为 $L=5+\lg V$．

将 $L=4.9$ 代入公式得：

$4.9=5+\lg V$

移项解得：

$\lg V=4.9-5=-0.1$

2. 转化为指数形式：

根据常用对数（以 10 为底）的定义：

$V=10^{-0.1}$

3. 结合已知近似值计算：

将指数化为分数形式，并利用题目给出的 $\sqrt[10]{10}\approx 1.259$：

$V=10^{-\frac{1}{10}}=\frac{1}{10^{\frac{1}{10}}}=\frac{1}{\sqrt[10]{10}}$

代入近似值计算：

$V\approx \frac{1}{1.259}$

4. 数值估算：

我们可以通过估算各个选项与 $1.259$ 的乘积来确定答案：

• 选项 A：$1.5\times 1.259\approx 1.88$（远大于 1）

• 选项 B：$1.2\times 1.259\approx 1.51$（远大于 1）

• 选项 C：$0.8\times 1.259\approx 0.8\times 1.25=1.000$（非常接近 1）

• 选项 D：$0.6\times 1.259\approx 0.75$（小于 1）

实际上，$\frac{1}{1.259}\approx 0.794$，四舍五入后最接近 $0.8$。

5. 结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 指对互化：熟练掌握 $y=\lg x⟺x=10^y$ 是解决此类模型题的唯一通路。

  2. 分数指数幂法则：将负小数指数转化为根式倒数 $10^{-0.1}=\frac{1}{\sqrt[10]{10}}$。

• 规律总结：高考中遇到带有复杂小数（如 1.259）的分式运算，千万不要用长除法硬算。直接将选项代入作乘法验证（或者将 $1.259$ 粗略视为 $1.25=\frac{5}{4}$，其倒数即为 $\frac{4}{5}=0.8$）能极大提高效率。

• 避坑指南：计算对数方程时注意符号，$4.9-5=-0.1$，如果粗心算成 $0.1$，会得出 $V\approx 1.259$，从而错误地选择 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2025-北京卷-09 单-对数模型