2021-甲卷文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数在研究函数单调性中的应用。核心在于求导法、分离参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）设函数 $f(x)=a^2{x}^2+ax-3\ln x+1$. 其中 $a>0$.

（1） 讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2） 若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 求导数 $f^{\prime }(x)$，通过通分将其转化为二次多项式除以 $x$ 的形式，研究分子二次函数的根与符号。
2. 根据二次项系数正负及判别式分类讨论单调区间。
3. 将第(2)问转化为 $f(x{)}_{\min }>0$ 或 $f(x{)}_{\max }<0$，由于 $a>0$ 时函数在极小值点取得最小值，进而转化为关于 $a$ 的不等式恒成立或最值约束问题。

✅【答案】

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(1) $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上单调递增

(2) $a$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{e},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $(0,+\infty )$. 求导得： $f^{\prime }(x)=2a^{2}x+a-\frac{3}{x}=\frac{2a^2{x}^2+ax-3}{x}$. 令 $g(x)=2a^2{x}^2+ax-3$ （$x>0$）. 因为 $a>0$，二次方程 $2a^2{x}^2+ax-3=0$ 的判别式为： $\Delta =a^2-4(2a^2)(-3)=a^2+24a^2=25a^2>0$. 方程有两个不等实根： $x_1=\frac{-a-5a}{4a^2}=\frac{-6a}{4a^2}=-\frac{3}{2a}$ （舍去，因为 $x>0$）， $x_2=\frac{-a+5a}{4a^2}=\frac{4a}{4a^2}=\frac{1}{a}$. 因此，当 $x\in \left(0,\frac{1}{a}\right)$ 时，$g(x)<0⟹f^{\prime }(x)<0$； 当 $x\in \left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 时，$g(x)>0⟹f^{\prime }(x)>0$. 综上所述：$f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上单调递增.

（2） 由(1)知，$f(x)$ 在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得极小值，也是最小值： $f\left(\frac{1}{a}\right)=a^2{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+a\left(\frac{1}{a}\right)-3\ln \left(\frac{1}{a}\right)+1$ $=1+1-3(-\ln a)+1=3+3\ln a$. 若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，等价于 $f(x)$ 的最小值大于 $0$（因为当 $x\to 0^{+}$ 或 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，若最小值大于 0 则全程大于 0）。 即 $f\left(\frac{1}{a}\right)>0$： $3+3\ln a>0⟹3\ln a>-3⟹\ln a>-1⟹a>e^{-1}=\frac{1}{e}$. 因此，$a$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{e},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与单调性、函数极值、恒成立与零点问题。
2. 核心方法：利用导数研究函数最值，将图形无交点问题转化为最值大于 0。
3. 避坑指南：求根时注意根据定义域 $(0,+\infty )$ 及时舍去负根，切勿漏掉对参数范围的限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考压轴题中常见的导数综合题型，侧重分类讨论与转化划归思想。
2. 结论推广：含参函数零点或图象与坐标轴交点问题，核心是“极值即最值”的转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1982-全国卷理-04
• 2006-辽宁卷理-21 解-三角形面积的坐标几何求解
• 2008-大纲卷I理-19