2021-甲卷理-05 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查定义，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$，$|P{F}_1|=3|P{F}_2|$，则 $C$ 的离心率为（　　）

A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{7}$　　　　　　　D. $\sqrt{13}$

🔍【思路分析】

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1. 利用双曲线定义建立边长关系：根据双曲线的第一定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，结合题目给出的比例关系 $|P{F}_1|=3|P{F}_2|$，将 $|P{F}_1|$ 和 $|P{F}_2|$ 的长度用实半轴长 $a$ 表示出来。

2. 在焦点三角形中应用余弦定理：在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，已知两边长（用 $a$ 表示）及其夹角 $60^{\circ }$，利用余弦定理计算对边 $|F_1{F}_2|$（即焦距 $2c$）的长度平方。

3. 计算离心率：建立 $c$ 与 $a$ 的关系式后，利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 计算出结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用定义统一边长参数：

设 $|P{F}_2|=m(m>0)$，则已知条件 $|P{F}_1|=3|P{F}_2|$ 可写为 $|P{F}_1|=3m$。

根据双曲线的定义，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于 $2a$：

$|P{F}_1|-|P{F}_2|=3m-m=2m=2a$

由此解得：$m=a$。

故焦点三角形的两条焦半径分别为：

$|P{F}_1|=3a,|P{F}_2|=a$

2. 利用余弦定理建立 $a,c$ 的关系：

在焦点三角形 $△F_{1}P{F}_2$ 中，已知两边 $|P{F}_1|=3a,|P{F}_2|=a$，夹角 $\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$。

其对边为焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。

根据余弦定理 $|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-2|P{F}_1||P{F}_2|\cos \angle F_{1}P{F}_2$：

$(2c{)}^2=(3a{)}^2+a^2-2(3a)(a)\cos 60^{\circ }$

代入 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，化简得：

4c^2 = 9a^2 + a^2 - 6a^2 \times \frac{1}{2}$$$$4c^2 = 10a^2 - 3a^2 = 7a^2

3. 计算离心率 $e$：

将上式两边同除以 $a^2$，得：

4\left(\frac{c}{a}\right)^2 = 7 \implies 4e^2 = 7$$$$e^2 = \frac{7}{4}

因为双曲线的离心率 $e>1$，开方得：

$e=\frac{\sqrt{7}}{2}$

4. 结论：

对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理圆锥曲线的**“焦点三角形”（由曲线上一动点与两焦点构成的三角形），第一反应必须是联立“圆锥曲线第一定义”与“余弦定理”**。将所有的边长用 $a$ 统一表示，能迅速切入核心关系。

• 规律总结：焦点三角形的面积和余弦定理有非常经典的二级结论推导。若本题求面积，可直接利用 $S=\frac{b^2}{\tan (\theta /2)}$ 进行运算。

• 避坑指南：在代入余弦定理时，切勿把 $|F_1{F}_2|$ 写成 $c^2$，焦距是 $2c$，平方后是 $4c^2$。这是一个极其容易失分的计算盲点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2006-山东卷理-04 单-解三角形