2021-甲卷理-16 填-三角函数性质

本题导读

本题考查周期性，以及单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知函数 $f(x)=2\cos (\omega x+\phi )$ 的部分图象如图所示，则满足条件 $(f(x)-f(-\frac{7\pi }{4}))(f(x)-f(\frac{4\pi }{3}))>0$ 的最小正整数 $x$ 为 ________．

🔍【思路分析】

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1. 读图获取周期：根据图象特征（从波峰到零点等），识别出两点间的横坐标差值代表 $\frac{3}{4}$ 个周期，从而求出最小正周期 $T$ 以及 $\omega$。

2. 大角化小角：利用函数的周期性 $f(x+T)=f(x)$，将不等式中的大角度 $-\frac{7\pi }{4}$ 和 $\frac{4\pi }{3}$ 加上或减去周期的整数倍，转化为主值区间内的特殊角。

3. 分析不等式特征：结合图象判定其中一个函数值（如 $f(\frac{\pi }{3})$）为最大值 $2$。由此判定 $(f(x)-2)\le 0$ 恒成立，从而将二次不等式降维成一次不等式 $f(x)<f(-\frac{7\pi }{4})$。

4. 解三角不等式与估算：求出 $f(x)$ 的解析式，解三角不等式得到 $x$ 的取值区间，通过估算 $\pi \approx 3.14$ 找出区间内的最小正整数。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用图象求周期 $T$ 和 $\omega$：

由题意及图象特征可知，横坐标 $\frac{\pi }{3}$ 与 $\frac{13\pi }{12}$ 之间相差 $\frac{3}{4}$ 个周期（通常为从最大值点到相邻的第三个零点）：

$\frac{3}{4}T=\frac{13\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi -4\pi }{12}=\frac{9\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}$

解得周期 $T=\pi$。

故 $\omega =\frac{2\pi }{T}=2$。

2. 利用周期性化简目标不等式：

因为 $T=\pi$，根据 $f(x+k\pi )=f(x)$，化简不等式中的两项：

f\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = f\left(-\frac{7\pi}{4} + 2\pi\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$$$f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = f\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right)

目标不等式等价于：

$\left(f(x)-f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{\pi }{3}\right)\right)>0$

3. 确定特殊点的函数值：

由于图象在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处是 $\frac{3}{4}T$ 区间的起点，且该函数为余弦型函数，起点必为最值点。

故 $x=\frac{\pi }{3}$ 为极大值点，此时 $f(\frac{\pi }{3})=2$。

因为对任意实数 $x$，均有 $f(x)⩽2$，故 $f(x)-f(\frac{\pi }{3})⩽0$ 恒成立。

为了使原不等式乘积严格大于 $0$，必须满足：

$f(x)-f\left(\frac{\pi }{3}\right)<0⟹f(x)\ne 2$

并且：

$f(x)-f\left(\frac{\pi }{4}\right)<0⟹f(x)<f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

4. 求函数解析式并计算 $f(\frac{\pi }{4})$：

因为 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得最大值 $2$，则：

$2\times \frac{\pi }{3}+\phi =0⟹\phi =-\frac{2\pi }{3}$

函数解析式为 $f(x)=2\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$。

计算 $f(\frac{\pi }{4})$ 的值：

$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\cos \left(2\times \frac{\pi }{4}-\frac{2\pi }{3}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}\right)=2\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

5. 求解不等式并估算整数解：

问题转化为求解不等式 $f(x)<\sqrt{3}$：

$2\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)<\sqrt{3}⟹\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}$

根据余弦函数图象，$\cos \theta <\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的主值区间为 $\theta \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right)$。

故：

$\frac{\pi }{6}+2k\pi <2x-\frac{2\pi }{3}<\frac{11\pi }{6}+2k\pi$

当 $k=0$ 时：

$\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{6}<2x<\frac{11\pi }{6}+\frac{4\pi }{6}⟹\frac{5\pi }{6}<2x<\frac{15\pi }{6}⟹\frac{5\pi }{12}<x<\frac{5\pi }{4}$

代入 $\pi \approx 3.14$ 进行估算：

左端点 $\frac{5\pi }{12}\approx \frac{15.7}{12}\approx 1.31$；

右端点 $\frac{5\pi }{4}\approx \frac{15.7}{4}\approx 3.92$。

故 $x$ 的区间近似为 $(1.31,3.92)$。

在此区间内，最小的正整数是 $2$。

结论：

最小正整数 $x$ 为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 极值转化法：面对 $(f(x)-A)(f(x)-B)>0$ 这种函数不等式，第一时间去检查 $A$ 和 $B$ 是否是函数的极值（如本题中的 $B=2$ 是最大值）。这可以直接将二次结构转化为一次不等式。

  2. 大角化小角的周期代换：看到 $-\frac{7\pi }{4}$ 这样不和谐的角，加上周期的整数倍 $2\pi$ 将其移入 $[0,2\pi ]$ 是标准动作。

• 规律总结：高考中要求“最小正整数解”的题目，必定需要用到 $\pi \approx 3.14$ 进行浮点估算。列出解的区间后直接带入估算是最严谨的。

• 避坑指南：

  • 如果直接代入整数 $x=1$ 检验，容易凭直觉认为 $\cos (2-\frac{2\pi }{3})<\frac{\sqrt{3}}{2}$ 而错选 $1$。必须严谨计算：$2-\frac{2\pi }{3}\approx -0.09$，而 $\frac{\pi }{6}\approx 0.52$，此时相位在 $(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6})$ 内，余弦值是大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式
• 2002-北京卷理-07 单-复数的模与几何意义