2022-上海卷-04 填-行列式

本题导读

本题考查二阶行列式，以及一元一次方程。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 已知 $a\in \mathbf{R}$，行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 3& 2\end{array}\right|$ 的值与行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ 4& 1\end{array}\right|$ 的值相等，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开行列式：利用二阶行列式的计算法则（主对角线元素之积减去副对角线元素之积），分别将题干中的两个行列式转化为含有参数 $a$ 的代数式。

2. 构建方程：根据题意“两个行列式的值相等”，建立关于 $a$ 的一元一次方程。

3. 求解参数：解这个一元一次方程，即可得到参数 $a$ 的值。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

解析过程：

根据二阶行列式的展开法则 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$，我们分别计算左右两个行列式的值。

左边的行列式为：

$\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=a\times 2-1\times 3=2a-3$

右边的行列式为：

$\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ 4& 1\end{array}\right|=a\times 1-0\times 4=a$

因为已知这两个行列式的值相等，所以可以列出方程：

$2a-3=a$

解该一元一次方程，移项可得：

2a - a = 3$$$$a = 3

故答案为：$3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式/概念：

  • 二阶行列式的计算公式：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。即主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积。

• 试题评价：本题考查了二阶行列式表示的值以及一元一次方程的求解。考点非常直接，属于基础送分题。

• 易错提醒：

  • 在计算二阶行列式时，容易将主对角线和副对角线的顺序弄反，或者在作差时弄错符号（特别是当元素带有负号时）。本题数值简单，不易出错，但在平时练习中应注意符号法则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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