2022-乙卷文-08 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及导数与单调性。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文）

如图是下列四个函数中的某个函数在 $[-3,3]$ 的大致图象，则该函数是 ()

A. $y=\frac{-x^3+3x}{x^2+1}$　　　　　　　　　　B. $y=\frac{x^3-x}{x^2+1}$

C. $y=\frac{2x\cos x}{x^2+1}$　　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{2\sin x}{x^2+1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察图象特征：当 $x=3$ 时，函数值小于 0；当 $x=-3$ 时，函数值大于 0。

2. 将 $x=3$ 代入各选项进行验证。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于选项 (A)，当 $x=3$ 时， $y=\frac{-3^3+3(3)}{3^2+1}=\frac{-27+9}{10}=-1.8<0$，符合图象在 $x=3$ 时 $y<0$ 的特征；

当 $x=-3$ 时， $y=\frac{-(-3{)}^3+3(-3)}{(-3{)}^2+1}=\frac{27-9}{10}=1.8>0$，符合图象在 $x=-3$ 时 $y>0$ 的特征。

选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象与解析式的对应关系。

2. 核心方法：特殊点代入法。

3. 避坑指南：注意观察自变量取极端值（如 $x=\pm 3$）时的函数值符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数图象识别经典题。

2. 结论推广：利用函数的奇偶性、极值点及端点值快速排除错误选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-06 单-函数与方程

• 2004-江苏卷-12 单-函数的单调性与值域

• 2005-湖北卷理-17 解-平面向量的数量积坐标运算