2022-乙卷文-12 单-球与四棱锥

本题导读

本题考查球内接几何体，以及锥体体积最大值。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 已知球 $O$ 的半径为 $1$，四棱锥的顶点为 $O$，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 () A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设四棱锥的高为 $h$ ($0<h<1$)，则底面所在的截面圆半径为 $r=\sqrt{1-h^2}$。
2. 底面为内接于半径为 $r$ 的圆的凸四边形，当底面为正方形时面积最大，最大面积为 $S=2r^2=2(1-h^2)$。
3. 表示出四棱锥的体积 $V(h)$，通过求导数求得体积最大时的高 $h$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设四棱锥的高为 $h$，则底面圆的半径 $r=\sqrt{1-h^2}$。 底面四边形面积的最大值为 $S=2r^2=2(1-h^2)$。 四棱锥的体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{2}{3}(1-h^2)h=\frac{2}{3}(h-h^3)$。 求导得 $V^{\prime }(h)=\frac{2}{3}(1-3h^2)$。 令 $V^{\prime }(h)=0$，解得 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值已舍去）。 此时体积取得最大值。 选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体截面、几何体体积最值。
2. 核心方法：构建体积函数求导。
3. 避坑指南：明确内接四边形面积最大时为正方形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何压轴题。
2. 结论推广：球内接多面体体积极值问题的一般解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-18 解-四棱锥相似与体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积