2022-北京卷-07 单-对数估算

本题导读

本题考查对数的运算与估算，以及数学建模与图象读取。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $T$ 和 $\lg P$ 的关系，其中 $T$ 表示温度，单位是 $\text{K}$；$P$ 表示压强，单位是 $\text{bar}$。下列结论中正确的是 ()

A. 当 $T=220$，$P=1026$ 时，二氧化碳处于液态

B. 当 $T=270$，$P=128$ 时，二氧化碳处于气态

C. 当 $T=300$，$P=9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态

D. 当 $T=360$，$P=729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

🔍【思路分析】

破题导航

本题的核心在于“坐标定位”。给定的图象横纵坐标分别是 $T$ 和 $\lg P$。已知选项给出了具体的 $T$ 和 $P$ 的值，我们需要：

1. 计算或估算对应的 $\lg P$ 的值（或范围）。

2. 将 $(T,\lg P)$ 作为坐标点，代入原题给定的二氧化碳状态图象中。

3. 观察该坐标点落在哪一个状态区域（固态、液态、气态或超临界状态），从而判断选项的正误。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

我们需要根据 $P$ 的值估算 $\lg P$ （以 $10$ 为底的常用对数），结合 $T$ 进行判断：

• 对于 A 选项：

  已知 $T=220$，$P=1026$。

  因为 $1026>1000=10^3$，所以 $\lg P=\lg 1026>\lg 10^3=3$。

  结合题图观察坐标点 $(220,>3)$，该区域二氧化碳处于固态，并非液态。故 A 错误。

• 对于 B 选项：

  已知 $T=270$，$P=128$。

  因为 $100<128<1000$，即 $10^2<128<10^3$，所以 $2<\lg P<3$。

  结合题图观察坐标点 $(270,2\sim 3)$，该区域二氧化碳处于液态，并非气态。故 B 错误。

• 对于 C 选项：

  已知 $T=300$，$P=9987$。

  因为 $9987$ 非常接近 $10000=10^4$，所以 $\lg P=\lg 9987\approx 4$ （且略小于 $4$）。

  结合题图观察坐标点 $(300,\approx 4)$，该区域二氧化碳处于固态，并非超临界状态。故 C 错误。

• 对于 D 选项：

  已知 $T=360$，$P=729$。

  因为 $100<729<1000$，即 $10^2<729<10^3$，所以 $2<\lg P<3$。

  结合题图观察坐标点 $(360,2\sim 3)$，该区域二氧化碳处于超临界状态。故 D 正确。

结论：对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 常用对数的估算：本题不需要精确计算对数值，只需要利用常用的数量级（如 $100=10^2$, $1000=10^3$, $10000=10^4$）作为基准，判断 $\lg P$ 所处的整数区间即可。例如 $\lg 128\in (2,3)$。

2. 数学阅读与信息提取：这是一种典型的“新定义/情境应用”题。图象的纵轴不是压强 $P$ 本身，而是 $\lg P$。很多考生如果在考场上粗心，直接拿 $P$ 的值去图象上找纵坐标，就会完全摸不着头脑。

3. 试题评价：本题将冬奥会先进科技成果与数学对数知识、函数图象相结合，背景新颖，体现了数学的工具性和跨学科应用价值。题目本身计算量很小，重在考查学生的阅读理解能力、估算能力和数形结合思想，属于一道优秀的基础应用题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域
• 2009-江西卷理-02