2022-北京卷-09 单-正三棱锥距离

本题导读

本题考查空间中的距离，以及正四面体的性质。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 已知正三棱锥 $P-ABC$ 的六条棱长均为 $6$，$S$ 是 $△ABC$ 及其内部的点构成的集合。设集合 $T=\{Q\in S\mid PQ⩽5\}$，则 $T$ 表示的区域的面积为 ()

A. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　D. $3\pi$

🔍【思路分析】

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本题考查立体几何中的距离问题与平面图形面积的计算。

题目要求满足 $PQ⩽5$ 的点 $Q$ 构成的区域面积。由于点 $P$ 在空间中，而点 $Q$ 在底面 $△ABC$ 上，直接处理斜线段 $PQ$ 的长度不方便。

核心思路（体现简化）：

1. 找到点 $P$ 在底面 $ABC$ 上的体现点 $O$，连接 $OQ$。

2. 在直角 $△POQ$ 中，利用勾股定理将空间距离限制 $PQ⩽5$ 转化为平面距离限制 $OQ⩽r$。

3. 判定该平面距离限制在 $△ABC$ 内部构成的图形（一个圆），并计算其面积。注意：严谨的解法还需要验证该圆是否超出了 $△ABC$ 的边界。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求棱锥的高 $PO$

设点 $P$ 在面 $ABC$ 内的体现为点 $O$。因为正三棱锥的六条棱长均为 $6$（实际上这就是一个正四面体），所以点 $O$ 是正 $△ABC$ 的中心（也是外心、重心等）。

连接 $OA$，$OA$ 为正 $△ABC$ 外接圆的半径。

正 $△ABC$ 的高为 $6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。

根据重心的性质，$OA$ 占高的 $\frac{2}{3}$，即：

$OA=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

在直角 $△POA$ 中，由勾股定理可求得棱锥的高 $PO$：

$PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

第二步：转化空间距离条件

已知点 $Q$ 在面 $ABC$ 内，连接 $OQ$。因为 $PO\perp$ 面 $ABC$，所以 $PO\perp OQ$，即 $△POQ$ 为直角三角形。

根据勾股定理：$P{Q}^2=P{O}^2+O{Q}^2=24+O{Q}^2$。

由题意 $PQ⩽5$，即 $P{Q}^2⩽25$，代入可得：

$24+O{Q}^2⩽25⟹O{Q}^2⩽1⟹OQ⩽1$

这意味着，满足条件的点 $Q$ 构成的集合，在平面 $ABC$ 上是以 $O$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆及其内部区域。

第三步：边界检验与面积计算（严谨性补充）

题目明确规定 $Q\in S$，即 $Q$ 必须在 $△ABC$ 及其内部。我们需要验证以 $O$ 为圆心、$1$ 为半径的圆是否完全在 $△ABC$ 内部。

点 $O$ 到正 $△ABC$ 任意一边的距离 $d$（即内切圆半径）等于高的 $\frac{1}{3}$：

$d=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\approx 1.732$

因为圆的半径 $R=1<\sqrt{3}$，所以该圆完全包含在 $△ABC$ 内部，没有被截断。

因此，集合 $T$ 表示的区域就是一个完整的圆。

其面积为：

$\text{Area}=\pi R^2=\pi \times 1^2=\pi$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 立体几何的简化思想：处理空间中一点到平面内动点的距离限制问题时，最有效的方法是作垂线找体现，利用勾股定理将空间斜线段的限制转化为底面体现线段的限制。本题 $PQ⩽5⟺OQ⩽1$ 就是最经典的转化。

2. 正四面体的基本数据：对于棱长为 $a$ 的正四面体，学生应熟练记忆其几个关键数据：底面外接圆半径 $R_{底}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，底面内切圆半径 $r_{底}=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，高 $h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$。熟记这些可以极大提高解题速度。

3. 边界检验的陷阱：本题较为仁慈，计算出的圆完全在三角形内部。如果题目将条件修改为 $PQ⩽2\sqrt{7}$，此时 $OQ⩽2$，由于 $2>\sqrt{3}$，圆就会超出三角形边界，面积的计算就需要用到弓形面积相减的复杂几何知识了。因此，养成检验边界的习惯是冲击高分的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离
• 2008-浙江卷文-01 单-集合并集
• 2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角