2022-天津卷-03 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 函数 $f(x)=\frac{|x^2-1|}{x}$ 的图像为()

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查函数图像的识别。对于函数图像识别题，常规思路是借助函数的性质（如定义域、奇偶性、单调性、极值）以及特殊值/特殊点来进行排除和判断。本题带有绝对值，关键在于利用奇偶性化简讨论区间，并通过分类讨论去掉绝对值符号，研究其在各区间上的单调性。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数的奇偶性

函数的定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。

因为 $f(-x)=\frac{|(-x{)}^2-1|}{-x}=\frac{|x^2-1|}{-x}=-f(x)$，

所以 $f(x)$ 为奇函数，其图像关于原点对称。借此可排除不具备奇函数对称性的选项，且只需研究 $x>0$ 时的图像规律即可。

第二步：去绝对值，分析单调性（当 $x>0$ 时）

根据绝对值的性质，令 $x^2-1=0$，分界点为 $x=1$。

① 当 $x>1$ 时：

$x^2-1>0$，此时 $f(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$。

因为函数 $y=x$ 与 $y=-\frac{1}{x}$ 在区间 $(1,+\infty )$ 上均单调递增，所以 $f(x)$ 在 $x\in (1,+\infty )$ 上单调递增。

② 当 $0<x<1$ 时：

$x^2-1<0$，此时 $f(x)=\frac{-(x^2-1)}{x}=\frac{1-x^2}{x}=-x+\frac{1}{x}$。

因为函数 $y=-x$ 与 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上均单调递减，所以 $f(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 上单调递减。

第三步：综合得出图像特征

综合以上分析可知：

函数在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty )$ 单调递增，且在 $x=1$ 处有 $f(1)=0$；

再结合奇函数的对称性，图像在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(-\infty ,-1)$ 单调递增，且在 $x=-1$ 处有 $f(-1)=0$。

根据以上特征，选择符合该增减趋势和对称性的图像选项D 即可。

本题是经典的高考函数图像识别题，主要考查学生对函数基本性质（奇偶性、单调性）的掌握，以及处理绝对值函数的基本能力。题目难度适中，通过常规的“化归与转化”思想（去绝对值转化为分段函数）即可顺利求解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 函数图像识别的“四步法”：一看定义域（看是否有渐近线或间断点），二看奇偶性（看对称性），三看单调性与极值（看升降趋势），四看特殊点与极限（看交点和无限远处的趋势）。

2. 绝对值函数的处理：遇到含有绝对值的函数，首要步骤往往是找到使绝对值内部为 $0$ 的零点，进行区间划分，通过分类讨论去掉绝对值符号，将其转化为分段函数后再进行研究，这是非常通用且不易出错的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式