2022-天津卷-06 单-对数运算

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及对数换底公式。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷）化简 $(2 lo g_{4} 3 + lo g_{8} 3) (lo g_{3} 2 + lo g_{9} 2)$ 的值为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 6

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解决对数复合运算题的核心在于“统一底数”。观察题目中的底数 $4, 8, 3, 9$ ，它们都可以转化为以 $2$ 或 $3$ 为底的幂。利用对数性质 $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ 将各项化为最简形式，再进行加法合并和最后的乘法计算。

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B

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Abstract

第一步：化简第一个括号内的各项

$2 lo g_{4} 3 = 2 lo g_{2^{2}} 3 = 2 \cdot \frac{1}{2} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$

$lo g_{8} 3 = lo g_{2^{3}} 3 = \frac{1}{3} lo g_{2} 3$

合并： $2 lo g_{4} 3 + lo g_{8} 3 = lo g_{2} 3 + \frac{1}{3} lo g_{2} 3 = \frac{4}{3} lo g_{2} 3$

第二步：化简第二个括号内的各项

$lo g_{3} 2$ 已为最简

$lo g_{9} 2 = lo g_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$

合并： $lo g_{3} 2 + lo g_{9} 2 = lo g_{3} 2 + \frac{1}{2} lo g_{3} 2 = \frac{3}{2} lo g_{3} 2$

第三步：计算乘积

原式 $= (\frac{4}{3} lo g_{2} 3) \times (\frac{3}{2} lo g_{3} 2)$

根据倒数关系 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ （或换底公式）：

原式 $= \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} \times (lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2)$

原式 $= 2 \times 1 = 2$

故选：B。

本题考查对数运算和换底公式的应用。题目设置比较常规，重点测试学生对对数底数位置幂的处理能力以及对数恒等式的记忆。属于基础题，计算量较小，只要公式熟练即可快速得出正确答案。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心公式回顾：

$lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ （特别是底数带次方的情况）。

$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ 。

$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ （换底公式）。

运算技巧：在化简过程中，优先将所有对数式化为“底数为质数”且“真数也为质数”的形式，这样能最直观地发现各项之间的系数倍数关系和互倒关系。

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试题探源：待补

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04.01 指数与对数运算

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1977-江苏卷-01(4)

1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较

1990-全国卷理-01 单-指数方程与对数

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