2022-天津卷-09 单-三角函数性质

本题导读

本题考查正弦型函数的周期性，以及单调区间的判定。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 已知 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x$，关于该函数有下面四个说法：

① $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$；

② $f(x)$ 在 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 上单调递增；

③ 当 $x\in [-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}]$ 时，$f(x)$ 的取值范围为 $[-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}]$；

④ $f(x)$ 的图象可由 $g(x)=\frac{1}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ 向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度得到。

以上四个说法中，正确的个数有()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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本题是一道典型的三角函数性质综合判定题。解题的核心在于**“整体思想”**的运用，具体思路如下：

1. 周期判定：直接利用正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 进行计算。

2. 单调性分析：将 $2x$ 看作整体 $t$，利用 $y=\sin t$ 的增区间 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$ 来约束 $2x$ 的范围，解出 $x$ 的区间后与已知区间对比。

3. 值域确定：通过 $x$ 的范围推导出整体角 $2x$ 的范围，结合正弦曲线在该范围内的图象走势（注意是否包含极值点），确定函数值的上下限。

4. 平移变换：遵循“左加右减”原则，但必须注意平移是针对自变量 $x$ 的。需要先提取 $x$ 的系数 $\omega$，再根据常数项的正负判断方向。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

逐项判断分析：

① 判断周期性 函数 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x$ 中，$\omega =2$。 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 说法 ① 认为周期为 $2\pi$，故 错误。

② 判断单调性 令 $2x\in [-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$，$k\in \mathbb{Z}$。 解得单调递增区间为 $[-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ]$。 取 $k=0$，单调递增区间为 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$。 说法 ② 正确描述了该区间，故 正确。

③ 判断取值范围（值域） 已知 $x\in [-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}]$，则 $2x\in [-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$。 分析正弦函数在 $[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ 上的表现：

• 当 $2x=-\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$（最小值）；

• 当 $2x=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin 2x=1$（最大值位置），此时 $f(x)=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$；

• 当 $2x=\frac{2\pi }{3}$ 时，$\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故 $f(x)$ 的取值范围应为 $[-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2}]$。 说法 ③ 认为范围是 $[-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}]$，忽略了在 $\frac{\pi }{4}$ 处能取到波峰 $1/2$，故 错误。

④ 判断图象平移 $g(x)=\frac{1}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\sin [2(x+\frac{\pi }{8})]$。 要得到 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x$，需要将 $g(x)$ 表达式中的 $(x+\frac{\pi }{8})$ 替换为 $x$。 这相当于将 $x$ 替换为 $x-\frac{\pi }{8}$。 根据“左加右减”原则，减去一个正数代表向右平移。 所以应该是向右平移 $\frac{\pi }{8}$。 说法 ④ 认为是向左平移，故 错误。

总结： 只有说法 ② 正确，正确个数为 1。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 整体代换思想的深度应用 在处理 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的单调性、最值、区间取值范围时，最稳妥的方法是**“整体代换”**。将 $\omega x+\phi$ 看作一个整体 $t$，先研究 $\sin t$ 的性质，再利用 $\omega x+\phi$ 的范围或方程反推 $x$。

2. 闭区间值域的“最值陷阱” 这是本题（说法③）最容易丢分的地方。在求闭区间 $[a,b]$ 上的值域时，绝对不能只代入端点值。

• 正确步骤：先求出整体角度 $t$ 的范围 $[t_1,t_2]$，然后在正弦曲线图象上观察该区间是否包含了 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$（波峰）或 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$（波谷）。如果包含，则最大/最小值必为 $\pm A$。

3. 图象变换中的“系数分离”原则 图象平移是针对自变量 $x$ 而言的。

• 口诀：先提系数，再看加减。

• 误区：很多学生会错误地认为 $\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ 到 $\sin 2x$ 是平移了 $\frac{\pi }{4}$。实际上，必须先写成 $2(x+\frac{\pi }{8})$，此时看到的 $\frac{\pi }{8}$ 才是真实的平移量。

4. 平移方向的逆向思维 本题说法④考查的是“从 $g(x)$ 到 $f(x)$”的变换。

• 若从 $f(x)$ 变到 $g(x)$，则 $x\to x+\frac{\pi }{8}$（左移）；

• 反之，从 $g(x)$ 变回 $f(x)$，则是 $x\to x-\frac{\pi }{8}$（右移）。 解题时务必读清变换的起始函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 1996-全国卷理-15
• 2004-北京卷理-09 填-二倍角的正弦公式