2022-天津卷-12 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 直线 $x-y+m=0(m>0)$ 与圆 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=3$ 相交所得的弦长为 $m$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

解决直线与圆的弦长问题，通常采用几何法。

1. 确定圆的圆心坐标和半径 $R$。

2. 利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离 $d$（即弦心距）。

3. 利用几何关系 $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$（其中 $L$ 为弦长）列出关于 $m$ 的方程并求解。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

解题步骤：

1. 确定圆的相关参数：

   由圆的方程 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=3$ 可知：

   • 圆心 $C(1,1)$

   • 半径 $R=\sqrt{3}$

2. 计算弦心距 $d$：

   圆心 $C(1,1)$ 到直线 $x-y+m=0$ 的距离为：

   $d=\frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$

   已知 $m>0$，故 $d=\frac{m}{\sqrt{2}}$。

3. 利用勾股定理列方程：

   由弦长公式知，半径 $R$、弦心距 $d$、半弦长 $\frac{L}{2}$ 构成直角三角形：

   $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$

   已知弦长 $L=m$，代入各数据得：

   $(\sqrt{3}{)}^2={\left(\frac{m}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{m}{2}\right)}^2$

4. 求解 $m$：

   3 = \frac{m^2}{2} + \frac{m^2}{4}$$$$3 = \frac{3m^2}{4}$$$$m^2 = 4

   由于题干限定 $m>0$，故 $m=2$。

故填：$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 弦长计算的核心模型

在解析几何中，处理直线与圆的弦长问题，几何法（$R^2=d^2+(L/2{)}^2$）通常优于代数法（韦达定理）。它计算量更小，物理意义更明确。

2. 点到直线的距离公式

公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 是必备工具。本题中圆心坐标为 $(1,1)$，代入后常数项抵消，简化了运算。

3. 审题细节

注意题目中的限制条件 $m>0$。在开方求得 $m=\pm 2$ 后，必须根据此条件舍去负根，否则答案不完整或错误。

4. 试题评价

本题属于典型的直线与圆的位置关系考查，难度较低，属于基础得分题。要求学生能够快速反应出“弦心距-半径-半弦长”的直角三角形模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆
• 2008-四川卷理-14
• 2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参