2022-天津卷-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的线性运算，以及向量的数量积与垂直。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 在 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CB}=\vec{b}$，$D$ 是 $AC$ 的中点，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$；试用 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{DE}$ 为$\underline{}$；若 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{DE}$，则 $\angle ACB$ 的最大值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

$32\mathbf{b}-12\mathbf{a}；\pi 6$

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$ ； $\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定关键点向量：

   • 因为 $D$ 是 $AC$ 的中点，且 $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，所以 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\vec{a}$。

   • 因为 $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$，说明 $B$ 是 $CE$ 的内分点（或 $E$ 在 $CB$ 的延长线上）。

   • 由 $\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CB})⟹\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}-2\overrightarrow{CB}⟹2\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CB}$。

   • 故 $\overrightarrow{CE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{3}{2}\vec{b}$。

2. 合成向量 $\overrightarrow{DE}$：

   • $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$。

【解法一：向量代数法 + 基本不等式】

1. 利用垂直条件列式：

   • 已知 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{b}-\vec{a}$。

   • 因为 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{DE}$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DE}=0$。

   • $(\vec{b}-\vec{a})\cdot (\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})=0$。

   • 展开得：$\frac{3}{2}|\vec{b}{|}^2-\frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{2}|\vec{a}{|}^2=0$。

   • 整理得：$3|\vec{b}{|}^2+|\vec{a}{|}^2=4\vec{a}\cdot \vec{b}$。

2. 引入夹角定义：

   • 设 $\angle ACB=\theta$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。

   • 代入上式：$\cos \theta =\frac{3|\vec{b}{|}^2+|\vec{a}{|}^2}{4|\vec{a}||\vec{b}|}$。

3. 求最值：

   • 由基本不等式 $3|\vec{b}{|}^2+|\vec{a}{|}^2\ge 2\sqrt{3|\vec{b}{|}^2\cdot |\vec{a}{|}^2}=2\sqrt{3}|\vec{a}||\vec{b}|$。

   • 所以 $\cos \theta \ge \frac{2\sqrt{3}|\vec{a}||\vec{b}|}{4|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

   • 当且仅当 $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ 时取等号。

   • 在 $△ABC$ 中，$\theta \in (0,\pi )$，余弦值越大，角度越小。

   • $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}⟹\theta \le \frac{\pi }{6}$。

   • 故 $\angle ACB$ 的最大值为 $\frac{\pi }{6}$。

【解法二：坐标几何法（解析法）】

1. 建立坐标系：

   • 设 $C(0,0)$，由于 $\overrightarrow{CE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}$，可设 $E(0,0),B(1,0),C(3,0)$（此处采用简化设点法，或设 $C(0,0),B(2,0),E(3,0)$）。

   • 按照原解析逻辑：设 $E(0,0),B(1,0),C(3,0)$，则 $D$ 点坐标取决于 $A(x,y)$。

   • $\overrightarrow{CA}=(x-3,y)$，则 $D$ 为 $AC$ 中点 $⟹D(\frac{x+3}{2},\frac{y}{2})$。

   • $\overrightarrow{DE}=(0-\frac{x+3}{2},0-\frac{y}{2})=(-\frac{x+3}{2},-\frac{y}{2})$。

   • $\overrightarrow{AB}=(1-x,-y)$。

2. 利用垂直条件求轨迹：

   • $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹\frac{x+3}{2}(x-1)+\frac{y^2}{2}=0⟹(x+3)(x-1)+y^2=0$。

   • 整理得：$x^2+2x-3+y^2=0⟹(x+1{)}^2+y^2=4$。

   • 这说明点 $A$ 的轨迹是以 $M(-1,0)$ 为圆心，$r=2$ 为半径的圆。

3. 寻找最大角：

   • 射线 $CA$ 从原点 $C(3,0)$ 出发，当 $CA$ 与圆 $M$ 相切时，$\angle ACB$（即直线 $CA$ 与 $x$ 轴的夹角）达到最大。

   • 在直角三角形 $AMC$ 中，圆心 $M(-1,0)$，切点 $A$，点 $C(3,0)$。

   • $CM=|3-(-1)|=4$，$MA=r=2$。

   • $\sin (\angle ACM)=\frac{MA}{MC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

   • 故 $\angle ACB=\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量线性表示的基石：熟练掌握向量的加减法及数乘的几何意义是解决此类题目的前提。

2. 代数与几何的转化：

   • 代数路径：通过数量积展开，利用基本不等式求出三角函数值的范围，进而确定角度范围。

   • 几何路径：通过建立坐标系将向量关系转化为点的轨迹（圆），将最值问题转化为几何位置关系（相切）。

3. 易错点提醒：

   • 在第一问中，对 $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$ 的处理需细心，容易误认为 $E$ 在 $C,B$ 之间。

   • 在第二问中使用基本不等式时，务必注意余弦函数在 $(0,\pi )$ 上的单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2013-大纲卷理-03 单-向量加减法
• 2013-安徽卷理-09 单-数量积运算性质