2022-天津卷-15 填-分段函数零点

本题导读

本题考查函数零点，以及分段函数与最小值函数。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 设 $a\in R$，对于任意实数 $x$，记 $f(x)=\min \{|x|-2,x^2-ax+3a-5\}$，若 $f(x)$ 至少有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解 $\min$ 函数的零点：

   $f(x)=0$ 意味着：

   • 或者 $|x|-2=0$ 且 $x^2-ax+3a-5\ge 0$；

   • 或者 $x^2-ax+3a-5=0$ 且 $|x|-2\ge 0$。

     也就是说，$f(x)$ 的零点只能产生在 $h(x)=|x|-2$ 的零点（即 $x=\pm 2$）处，或者产生在 $g(x)=x^2-ax+3a-5$ 的零点（记为 $x_1,x_2$）处。

2. 具体分析零点构成：

   • 情况 A：$x=2$ 是零点 $⟺g(2)\ge 0⟹4-2a+3a-5\ge 0⟹a\ge 1$。

   • 情况 B：$x=-2$ 是零点 $⟺g(-2)\ge 0⟹4+2a+3a-5\ge 0⟹a\ge \frac{1}{5}$。

   • 情况 C：$g(x)$ 的根 $x_0$ 是零点 $⟺|x_0|\ge 2$。

✅【答案】

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$[10,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

记 $g(x)=x^2-ax+3a-5$。其判别式 $\Delta =a^2-4(3a-5)=a^2-12a+20=(a-2)(a-10)$。

1. 当 $2<a<10$ 时：

   $\Delta <0$，$g(x)$ 没有实数根。

   此时零点只能来自 $x=\pm 2$。要使 $f(x)$ 有零点，需满足前面提到的情况 A 或 B。即使 $x=2$ 和 $x=-2$ 都是零点，总数也只有 $2$ 个。

   不符合“至少 $3$ 个零点”的要求。

2. 当 $a=10$ 时：

   $\Delta =0$，此时 $g(x)=x^2-10x+25=(x-5{)}^2$。

   $g(x)$ 有唯一根 $x=5$。由于 $|5|>2$，所以 $x=5$ 是 $f(x)$ 的一个零点。

   同时，$a=10\ge 1$ 且 $a=10\ge \frac{1}{5}$，故 $x=2$ 和 $x=-2$ 也是 $f(x)$ 的零点。

   共有 $3$ 个零点：$\{-2,2,5\}$。符合题意。

3. 当 $a>10$ 时：

   $\Delta >0$，$g(x)$ 有两个相异实根 $x_1,x_2$。

   此时对称轴 $x=\frac{a}{2}>5$。

   因为 $g(2)=a-1>0$，且对称轴在 $2$ 的右侧，由二次函数性质可知，$g(x)$ 的两个根必有一个在 $(2,+\infty )$，另一个可能在 $(2,+\infty )$ 或者是 $(-\infty ,2)$。

   无论如何，$a>10$ 时，$g(x)$ 至少有一个根 $x_0$ 满足 $|x_0|>2$。

   结合 $a>10$ 满足 $x=\pm 2$ 成为零点的条件，此时 $f(x)$ 至少有 $3$ 个零点。符合题意。

4. 当 $a\le 2$ 时：

   此时对称轴 $x=\frac{a}{2}\le 1$。

   • 若 $a=2$，$\Delta =0$，$g(x)=(x-1{)}^2$，唯一根 $x=1$。但 $|1|<2$，故 $x=1$ 不是零点。此时只有 $x=2,-2$ 两个零点。

   • 若 $a<2$，$\Delta >0$。$g(x)$ 恒过定点 $(3,4)$（因为 $g(x)=x^2-5-a(x-3)$）。

     由于对称轴 $x\le 1$，且 $g(3)=4>0$，若 $g(x)$ 有落在 $|x|\ge 2$ 区域的根，经过严密推导（或数形结合观察图象）可知，无法凑齐 $3$ 个有效零点。

     例如当 $a=1$ 时，$g(2)=0$，此时 $x=2$ 是 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的共同零点，不增加个数。

综上所述，$a$ 必须满足 $\Delta \ge 0$ 且属于右侧区间，即 $a\ge 10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 图象思维：

   $f(x)$ 是取两个图象中较低的那部分。$f(x)$ 的零点就是“较低的线碰到 $x$ 轴”的点。

   • $|x|-2$ 是固定的“V”字形，零点在 $\pm 2$。

   • $g(x)$ 是移动的抛物线，且过定点 $(3,4)$。

   • 只有当抛物线向右移动足够远（$a$ 变大），使得它的顶点降到 $x$ 轴以下（$\Delta \ge 0$）且根落在 $\pm 2$ 之外时，才能产生额外的零点。

2. 定点分析法：

   观察到 $g(x)=(x^2-5)-a(x-3)$，这说明不论 $a$ 取何值，图象必过 $(3,4)$。这对于判断抛物线的开口和位置非常有帮助。

3. 难点提醒：

   很多同学容易漏掉 $x=\pm 2$ 是否能成为零点的判定条件（即 $g(\pm 2)\ge 0$）。只有当另一条线在 $x$ 轴上方或接触 $x$ 轴时，当前线的零点才有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式
• 2003-全国卷理-14
• 2004-江苏卷-13 填-二次函数