2022-新高考II卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知集合 $A=\{-1,1,2,4\}$，$B=\{x\mid |x-1|⩽1\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{-1,2\}$　　　　　B. $\{1,2\}$　　　　　C. $\{1,4\}$　　　　　D. $\{-1,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题求两个集合的交集，其中集合 $A$ 为有限集，集合 $B$ 为不等式表示的无限集。

1. 化简集合 $B$：解绝对值不等式 $|x-1|⩽1$，求出 $x$ 的取值范围，从而明确集合 $B$ 的具体区间。
2. 求交集：将集合 $A$ 中的元素依次代入集合 $B$ 的范围中进行检验，找出同时属于集合 $A$ 和集合 $B$ 的元素。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解绝对值不等式，化简集合 $B$ 已知集合 $B=\{x\mid |x-1|⩽1\}$。 根据绝对值不等式的性质 $|x|⩽a⟺-a⩽x⩽a(a>0)$，可得： $-1⩽x-1⩽1$ 不等式各部分同时加上 1，解得： $0⩽x⩽2$ 所以，集合 $B=\{x\mid 0⩽x⩽2\}$，即区间 $[0,2]$。

and points -1, 1, 2, 4]

第二步：求集合 $A$ 与 $B$ 的交集 已知集合 $A=\{-1,1,2,4\}$。 将集合 $A$ 中的元素与集合 $B$ 的范围 $[0,2]$ 进行对照：

• 对于元素 $-1$：$-1\notin [0,2]$；
• 对于元素 $1$：$1\in [0,2]$；
• 对于元素 $2$：$2\in [0,2]$；
• 对于元素 $4$：$4\notin [0,2]$。

综上所述，同时属于集合 $A$ 和集合 $B$ 的元素只有 $1$ 和 $2$。 因此，$A\cap B=\{1,2\}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧：处理集合运算题目，**“先化简，后运算”**是基本准则。先将描述法表示的集合转化为更直观的区间或列举形式，再进行交、并、补运算。
2. 绝对值不等式的几何意义：不等式 $|x-a|⩽d$ 在数轴上表示到点 $a$ 的距离不超过 $d$ 的所有点的集合，其结果为闭区间 $[a-d,a+d]$。本题中 $|x-1|⩽1$ 表示到点 $1$ 距离不超过 $1$ 的点，即区间 $[0,2]$。
3. 边界检查：在求交集时，要特别注意边界点。本题中元素 $2$ 恰好在集合 $B$ 的边界上，由于是不等号包含等于号（$⩽$），所以 $2$ 属于集合 $B$，切勿遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将集合 $B$ 改为 $B=\{x\mid |x-1|>1\}$，则 $A\cap B$ 的结果是什么？ (提示：此时集合 $B$ 为 $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$，交集为 $\{-1,4\}$。)
• 易错点提醒：有些同学可能会试图用代入法直接将 $A$ 中元素代入 $|x-1|⩽1$ 验证。这种方法在 $A$ 为离散有限集时也是可行的，且往往更快。例如：代入 $-1$ 得 $|-2|=2⩽1$（错）；代入 $1$ 得 $0⩽1$（对）；代入 $2$ 得 $1⩽1$（对）；代入 $4$ 得 $3⩽1$（错）。结果同样是 $\{1,2\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-02 单-绝对值不等式的解法
• 2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法
• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法