2022-新高考II卷-05 单-排列组合

本题导读

本题考查计数原理与排列组合，以及捆绑法。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()

A. $12$ 种　　　　　B. $24$ 种　　　　　C. $36$ 种　　　　　D. $48$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

本题有两个核心限制条件：① 丙和丁必须相邻；② 甲不能站在两端。

1. 处理相邻条件：遇到“相邻”问题，首选捆绑法。将丙和丁捆绑在一起看作一个“大元素”（注意内部有 ${\text{A}}_2^2$ 种排列）。
2. 处理位置条件：

• 解法一（直接法/插空法）：先排好没有位置限制的元素（“丙丁大元素”、乙、戊），再将有位置限制的甲插入到它们中间的空位中（避开两端）。
• 解法二（间接法/排除法）：先求出满足“丙丁相邻”的所有排列数，再从中减去“甲站在两端且丙丁相邻”的违规排列数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：插空法（直接法，推荐） 第一步：处理丙、丁相邻 将丙和丁捆绑成一个整体，记为“丙丁”。“丙丁”内部有交换位置的排列方式，共 ${\text{A}}_2^2=2$ 种。

第二步：排列其他元素（不含甲） 先安排“丙丁”、乙、戊这 3 个元素进行全排列。 排列数为 ${\text{A}}_3^3=3\times 2\times 1=6$ 种。

第三步：安排甲的位置（插空） 这 3 个元素排好后，会产生 4 个空位（包括两端和中间）： _ 元素1 _ 元素2 _ 元素3 _ 因为题目要求“甲不站在两端”，所以甲只能插入中间的 2 个空位中。 从 2 个空位中任选 1 个给甲，共有 ${\text{C}}_2^1=2$ 种选择（或者写成 ${\text{A}}_2^1=2$）。

第四步：分步乘法求总数 根据分步乘法计数原理，总的排列方式共有： $2\times 6\times 2=24$ 种。

解法二：排除法（间接法） 第一步：计算满足“丙丁相邻”的总数（无视甲的限制） 将丙、丁捆绑为一个整体，与甲、乙、戊共 4 个元素全排列。 排列数为 ${\text{A}}_4^4=24$ 种。 加上丙、丁内部的排列 ${\text{A}}_2^2=2$ 种。 满足“丙丁相邻”的总情况数为：$24\times 2=48$ 种。

第二步：计算违规情况数（甲在两端且丙丁相邻）

• 先安排甲的位置：甲站在最左端或最右端，共有 ${\text{C}}_2^1=2$ 种选法。
• 再安排剩余元素：甲的位置固定后，剩下的 3 个位置由“丙丁整体”、乙、戊来全排列，共有 ${\text{A}}_3^3=6$ 种排法。
• 最后考虑丙、丁内部排列：${\text{A}}_2^2=2$ 种。 违规情况数为：$2\times 6\times 2=24$ 种。

第三步：相减求得结果 符合题意的排列方式共有：$48-24=24$ 种。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 捆绑法的核心意识：看到“相邻”、“连在一起”等字眼，毫不犹豫使用捆绑法。千万不要忘记捆绑包内部的元素排列（除非题目说明是完全相同的元素）。
2. 插空法的进阶应用：传统的插空法用于解决“不相邻”问题，但它同样适用于解决“不能在两端”这类位置限制问题。先排没有限制的，再把有限制的“插”进合法的空位。
3. 直接法 vs 间接法：当正面分类情况较多时，考虑“正难则反”用排除法。但本题中，直接插空法思路清晰且计算量小，往往是考场上的最优解。使用排除法时，一定要精准界定“反面”是什么（本题的反面是“丙丁相邻且甲在两端”，而不是仅仅“甲在两端”）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果将条件改为“甲不站在两端，且丙和丁不相邻”，该如何计算？ (提示：可以先排乙、戊（2种），甲插中间的1个空（1种），排好这三个后产生4个空位，再让丙、丁去插这4个空（${\text{A}}_4^2=12$种），总计 $2\times 1\times 12=24$ 种。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2005-辽宁卷-15 填-排列组合
• 2021-甲卷文-10 单-排列组合
• 2008-浙江卷文-17 填-奇偶相邻排列