2022-新高考II卷-11 多-空间几何体体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积计算，以及空间线面位置关系。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$ED\perp$ 平面 $ABCD$，$FB\parallel ED$，$AB=ED=2FB$。记三棱锥 $E-ACD$，$F-ABC$，$F-ACE$ 的体积分别为 $V_1$，$V_2$，$V_3$，则()

A. $V_3=2V_2$　　B. $V_3=V_1$　　C. $V_3=V_1+V_2$　　D. $2V_3=3V_1$

🔍【思路分析】

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由于题目选项考察的是体积之间的比例关系，且图形的形状固定（仅有缩放差异），因此采用特殊值法赋具体棱长是最高效的策略。

1. 求 $V_1,V_2$：这两个三棱锥都有一条侧棱垂直于底面，直接套用体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 即可算出。
2. 求 $V_3$：三棱锥 $F-ACE$ 比较抽象，没有现成的垂直高。有两种主流处理方式：

• 割补法：连接 $BD$ 交 $AC$ 于 $M$，利用面面垂直性质证得 $AC\perp$ 平面 $BDEF$，从而将 $V_3$ 拆分为两个以 $△EFM$ 为底面、$AM$ 和 $CM$ 为高的三棱锥。
• 坐标向量法：建立空间直角坐标系，利用向量混合积或点到平面的距离公式进行纯代数计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：特殊值法 + 坐标向量法（推荐） 第一步：设定特殊值并求常规体积 设正方形的边长 $AB=2$。 由 $AB=ED=2FB$，可得 $ED=2$，$FB=1$。 因为 $ED\perp$ 平面 $ABCD$，且 $FB\parallel ED$，所以 $FB\perp$ 平面 $ABCD$。 计算 $V_1$（三棱锥 $E-ACD$）： 底面积 $S_{△ACD}=\frac{1}{2}\times AD\times CD=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 高为 $ED=2$。 $V_1=\frac{1}{3}\times S_{△ACD}\times ED=\frac{1}{3}\times 2\times 2=\frac{4}{3}$。

计算 $V_2$（三棱锥 $F-ABC$）： 底面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 高为 $FB=1$。 $V_2=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times FB=\frac{1}{3}\times 2\times 1=\frac{2}{3}$。

第二步：利用空间坐标求 $V_3$ 以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,DE$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 各点坐标为：$D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(0,0,2),F(2,2,1)$。 以 $A$ 为顶点，求出三个相邻棱向量： $\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$ $\overrightarrow{AE}=(-2,0,2)$ $\overrightarrow{AF}=(0,2,1)$ 利用向量混合积计算四面体体积公式 $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AE})\cdot \overrightarrow{AF}|$： 先求法向量（即外积 $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AE}$）： $\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -2& 2& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right|=(4,4,4)$ 计算点积：$(4,4,4)\cdot (0,2,1)=0+8+4=12$。 所以 $V_3=\frac{1}{6}\times |12|=2$。

第三步：比对选项 已知 $V_1=\frac{4}{3}$，$V_2=\frac{2}{3}$，$V_3=2$。 A 项：$2V_2=\frac{4}{3}\ne 2$，错误。 B 项：$V_1=\frac{4}{3}\ne 2$，错误。 C 项：$V_1+V_2=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2=V_3$，正确。 D 项：$2V_3=4$，$3V_1=3\times \frac{4}{3}=4$，即 $2V_3=3V_1$，正确。

解法二：几何割补法（代数参数推导） 设 $AB=ED=2FB=2a$。同理可得 $V_1=\frac{4}{3}{a}^3$，$V_2=\frac{2}{3}{a}^3$。 连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $M$，连接 $EM,FM$。 在正方形 $ABCD$ 中，$BD\perp AC$。 因为 $ED\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $ED\perp AC$。 又 $ED\cap BD=D$，所以 $AC\perp$ 平面 $BDEF$。 这说明平面 $BDEF$ 是三棱锥 $F-ACE$ 的对称面（实际上 $AC$ 被该平面垂直平分于 $M$）。 由于 $M$ 为 $AC$ 中点，$V_3=V_{F-ACE}=V_{A-EFM}+V_{C-EFM}=2V_{A-EFM}$。 $V_{A-EFM}=\frac{1}{3}\times S_{△EFM}\times AM$。 在直角梯形 $BDEF$ 中，$BD=2\sqrt{2}a$，$M$ 为 $BD$ 中点，所以 $DM=BM=\sqrt{2}a$。 过 $F$ 作 $FG\perp DE$ 于 $G$，则 $FG=BD=2\sqrt{2}a$，$EG=DE-FB=a$。 在 $△EFM$ 中，可利用梯形面积减去周围三角形面积求得： $S_{△EFM}=S_{梯形BDEF}-S_{△EDM}-S_{△FBM}=\frac{1}{2}(a+2a)(2\sqrt{2}a)-\frac{1}{2}(2a)(\sqrt{2}a)-\frac{1}{2}(a)(\sqrt{2}a)=3\sqrt{2}{a}^2-\sqrt{2}{a}^2-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2=\frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^2$。 又 $AM=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$。 所以 $V_3=2\times (\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^2\times \sqrt{2}a)=2a^3$。 比较体积：$V_1:V_2:V_3=\frac{4}{3}:\frac{2}{3}:2=2:1:3$。 满足 $V_3=V_1+V_2$ 以及 $2V_3=3V_1$。

故选：CD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 体积拆分技巧：对于处于空间悬空状态的三棱锥（如本题的 $F-ACE$），寻找一个能够垂直穿过它的平面（如平面 $BDEF$），将其一分为二（转化为共底面的两个三棱锥），是几何法的核心精髓。
2. 混合积求体积法则：在选修了空间向量或者熟悉高数基础的同学眼中，已知四个顶点坐标求四面体体积的最快方法是混合积：$V=\frac{1}{6}|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$。这比求平面的法向量再算点面距离要快得多。
3. 特殊值法的普适性：高考多选题中，如果题目没有任何绝对长度，只问比例关系，毫不犹豫地赋具体数值（比如设最小的边为 1 或 2），能极大降低大脑的认知负荷。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果将题目条件改为 $FB$ 也是一个变量，且 $V_3=V_1+V_2$ 恒成立，你能反推出 $FB$ 和 $ED$ 之间必须满足什么线性关系吗？
• 方法拓展：本题也可以用“大体积减去小体积”的纯割补法。将多面体 $ABCDEF$ 补成一个完整的直棱柱，然后再减去周围几个易求的三棱锥体积，也能得到 $V_3$，这种方法对空间想象力要求较低，但计算步骤稍多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2021-甲卷文-19 解-立几综合
• 2002-新课标理-07 单-异面直线所成的角