2022-新高考II卷-15 填-直线对称

本题导读

本题考查直线关于水平直线的对称变换，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 设点 $A(-2,3)$，$B(0,a)$，若直线 $AB$ 关于 $y=a$ 对称的直线与圆 $(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=1$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

本题有两种主流的对称转化思路：

1. 转化直线（动直线与定圆）：先求出直线 $AB$ 的斜率。由于对称轴 $y=a$ 是水平直线，且点 $B(0,a)$ 恰好在对称轴上，所以对称直线也必过点 $B$。根据对称性质，直线的斜率变为原来的相反数。写出对称直线的方程后，利用圆心到直线的距离 $d⩽r$ 求解 $a$ 的范围。
2. 转化圆（定直线与动圆）：根据相对运动原理，直线 $AB$ 关于 $y=a$ 的对称直线与原圆有公共点，等价于直线 $AB$ 本身与原圆关于 $y=a$ 对称的新圆有公共点。求出新圆的圆心坐标（含有参数 $a$），再利用点到直线的距离公式建立不等式。

✅【答案】

点击查看答案

$[\frac{1}{3},\frac{3}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：求对称直线的方程（动直线与定圆） 第一步：求直线 $AB$ 的斜率及对称直线的方程 已知 $A(-2,3)$，$B(0,a)$，直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB}=\frac{a-3}{0-(-2)}=\frac{a-3}{2}$。 直线 $AB$ 关于水平直线 $y=a$ 对称。 因为点 $B(0,a)$ 在对称轴 $y=a$ 上，所以对称直线也必过点 $B(0,a)$。 又因为直线关于水平直线对称时，斜率变为互为相反数。 故对称直线的斜率 $k^{\prime }=-k_{AB}=\frac{3-a}{2}$。 利用点斜式，对称直线的方程为：$y-a=\frac{3-a}{2}(x-0)$。 整理成一般式：$(3-a)x-2y+2a=0$。

第二步：利用点到直线的距离公式建立不等式 已知圆的方程为 $(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=1$，其圆心为 $C(-3,-2)$，半径 $r=1$。 因为直线与圆有公共点（即相交或相切），所以圆心 $C$ 到直线的距离 $d⩽r$。 $d=\frac{|(3-a)(-3)-2(-2)+2a|}{\sqrt{(3-a{)}^2+(-2{)}^2}}⩽1$。

第三步：化简并求解不等式 化简分子：$|-9+3a+4+2a|=|5a-5|$。 化简分母：$\sqrt{a^2-6a+9+4}=\sqrt{a^2-6a+13}$。 代入不等式得：$\frac{|5a-5|}{\sqrt{a^2-6a+13}}⩽1$。 因为分母大于 0，两边平方得： $(5a-5{)}^2⩽a^2-6a+13$ $25a^2-50a+25⩽a^2-6a+13$ $24a^2-44a+12⩽0$ 两边同时除以 4 得：$6a^2-11a+3⩽0$。 十字相乘因式分解：$(2a-3)(3a-1)⩽0$。 解得：$\frac{1}{3}⩽a⩽\frac{3}{2}$。

故答案为：$[\frac{1}{3},\frac{3}{2}]$。

解法二：对称圆法（定直线与动圆） 直线 $AB$ 的方程为 $y-a=\frac{a-3}{2}(x-0)⟹(a-3)x-2y+2a=0$。 原圆心为 $(-3,-2)$，半径为 $1$。 原圆心关于直线 $y=a$ 对称的新圆心坐标为 $(-3,2a-(-2))=(-3,2a+2)$。 对称圆的半径仍为 $1$。 由相对对称性，题目条件等价于直线 $AB$ 与对称圆有公共点。 利用圆心到直线的距离公式： $d=\frac{|(a-3)(-3)-2(2a+2)+2a|}{\sqrt{(a-3{)}^2+(-2{)}^2}}⩽1$ 化简分子：$|-3a+9-4a-4+2a|=|-5a+5|=|5a-5|$。 得到的不等式 $\frac{|5a-5|}{\sqrt{a^2-6a+13}}⩽1$ 与解法一完全一致。 解得 $a\in [\frac{1}{3},\frac{3}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 直线对称的快速求解技巧：

• 直线关于水平线 $y=m$ 或竖直线 $x=n$ 对称，斜率互为相反数。
• 直线关于 $y=x$ 对称，斜率互为倒数。

2. 直线与圆位置关系的“黄金法则”：只要题目中出现直线与圆“相切”、“相交”、“有公共点”、“弦长”等字眼，毫不犹豫地使用圆心到直线的距离公式 $d$ 与半径 $r$ 的关系。千万不要联立方程去算判别式 $\Delta$，计算量会呈指数级爆炸。
3. 相对运动思想的巧妙运用：解法二体现了数学中非常高级的相对思维。动直线去切定圆，等价于定直线去切动圆。在某些特定题目中，对称点（圆心）比对称直线更容易表达，这种思路能大幅简化第一步的运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目改为“直线 $AB$ 关于点 $(0,a)$ 对称的直线与圆有公共点”，$a$ 的取值范围会变吗？ (提示：直线关于其上的一点对称，对称直线就是它本身。此时直接计算直线 $AB$ 与原圆有公共点的 $a$ 的范围即可。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离
• 1991-全国卷理-14
• 2003-全国卷理-05