2022-新高考I卷-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式乘法的分配律。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） $(1-\frac{y}{x})(x+y{)}^8$ 的展开式中 $x^2{y}^6$ 的系数为 $\underline{}$。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构分析：根据多项式乘法，$(1-\frac{y}{x})(x+y{)}^8$ 可以展开为两部分：

• 第一部分：$1\cdot (x+y{)}^8$
• 第二部分：$-\frac{y}{x}\cdot (x+y{)}^8$

2. 确定贡献项：

• 要从第一部分得到 $x^2{y}^6$，需要从 $(x+y{)}^8$ 中找到包含 $x^2{y}^6$ 的项。
• 要从第二部分得到 $x^2{y}^6$，由于前面乘了 $-\frac{y}{x}$，需要从 $(x+y{)}^8$ 中找到与其相乘后能变为 $x^2{y}^6$ 的项。即寻找满足 $-\frac{y}{x}\cdot (\text{项})=A{x}^2{y}^6$ 的项，易知该项应为 $x^3{y}^5$。

3. 计算系数：利用二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_8^r{x}^{8-r}{y}^r$ 分别求出这两项的系数并求和。

✅【答案】

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$-28$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $(x+y{)}^8$ 的通项公式 $(x+y{)}^8$ 展开式的通项为： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot x^{8-r}\cdot y^r$

[Image of the Binomial Theorem formula and its general term expression]

第二步：寻找第一部分的贡献 对于 $1\cdot (x+y{)}^8$，令 $8-r=2$ 且 $r=6$。 该项为：${\text{C}}_8^6{x}^2{y}^6$。 其系数为：${\text{C}}_8^6={\text{C}}_8^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$。

第三步：寻找第二部分的贡献 对于 $-\frac{y}{x}\cdot (x+y{)}^8$，设其从 $(x+y{)}^8$ 中提取的项为 ${\text{C}}_8^r{x}^{8-r}{y}^r$。 则有：$-\frac{y}{x}\cdot ({\text{C}}_8^r{x}^{8-r}{y}^r)=-{\text{C}}_8^r{x}^{7-r}{y}^{r+1}$。 令其等于目标项的指数形式 $x^2{y}^6$： $\{\begin{array}{l}7-r=2\\ r+1=6\end{array}⟹r=5$。 该项系数为：$-{\text{C}}_8^5=-{\text{C}}_8^3=-\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=-56$。

第四步：加总求得最终系数 $x^2{y}^6$ 的总系数为：$28+(-56)=-28$。

故答案为：$-28$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分块思想：面对 $(A+B)(C+D{)}^n$ 形式的题目，不要试图把所有项写出来，而是要针对目标项的指数，逆推每一部分需要的“零件”。
2. 指数陷阱：本题中 $-\frac{y}{x}$ 含有分式，会改变 $x$ 和 $y$ 的指数幂次。在确定 $r$ 的取值时，务必列出方程（如 $7-r=2$）进行校验，避免心算错误。
3. 组合数计算：利用 ${\text{C}}_n^k={\text{C}}_n^{n-k}$ 的性质（如 ${\text{C}}_8^6={\text{C}}_8^2$）可以简化大数字的运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若本题求的是所有项的系数和，只需令 $x=1,y=1$ 代入原式计算即可：$(1-1)(1+1{)}^8=0$。
• 变式思考：如果题目改为 $(x-\frac{1}{x})(x+2{)}^6$ 中 $x^2$ 的系数，处理方法完全一致，只需注意常数项 $2$ 的幂次分配。
• 名师寄语：二项式定理的题目是填空题中的“送分题”，但前提是符号不能错、组合数不能算错。每一步都要核对 $r$ 的取值是否让 $x$ 和 $y$ 的指数之和等于 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式
• 2008-山东卷理-09