2022-新高考I卷-20 解-独立性检验

本题导读

本题考查独立性检验。核心在于独立性检验法、条件概率推导法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（分为良好和不够良好两类）的关系，在病例组（100例）和对照组（100人）中调查得到如下数据：

组别	卫生习惯不够良好	卫生习惯良好	合计
病例组	40	60	100
对照组	10	90	100
合计	50	150	200

（1）能否有 $99\%$ 的把握认为患该疾病与卫生习惯有差异？

（2）设 $A$ 为“卫生习惯不够良好”，$B$ 为“患有该疾病”，定义风险指标 $R=\frac{P(B|A)}{P(\bar{B}|A)}÷\frac{P(B|\bar{A})}{P(\bar{B}|\bar{A})}$。

（ⅰ）证明：$R=\frac{P(A|B)}{P(\bar{A}|B)}\cdot \frac{P(\bar{A}|\bar{B})}{P(A|\bar{B})}$；

（ⅱ）利用调查数据，给出 $P(A|B)$，$P(A|\bar{B})$ 的估计值，并计算 $R$ 的估计值。

附：${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P({\chi }^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（独立性检验）：

• 直接套用 $K^2$ 公式。注意分母是四个边际合计的乘积，分子是样本总量乘以交叉乘积差的平方。
• 对比临界值表，判定结论。

2. 第二问（指标推导与估计）：

• 推导（ⅰ）：利用条件概率公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，将 $R$ 中的每一项展开。通过 $P(AB)=P(A|B)P(B)$ 实现从 $B|A$ 到 $A|B$ 的转换（贝叶斯公式原理）。
• 估计（ⅱ）：在病例组（事件 $B$ 发生）中，卫生习惯不够良好（事件 $A$）的频率即为 $P(A|B)$ 的估计值；在对照组（事件 $\bar{B}$）中，不够良好（事件 $A$）的频率即为 $P(A|\bar{B})$ 的估计值。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $P(A|\bar{B})=0.1$

(2) $R$ 的估计值为 $6$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 独立性检验判定： 根据列联表数据，计算 $K^2$ 的观测值： $K^2=\frac{200\times (40\times 90-10\times 60{)}^2}{100\times 100\times 50\times 150}$ $K^2=\frac{200\times (3600-600{)}^2}{10000\times 7500}=\frac{200\times 3000^2}{75000000}$ $K^2=\frac{200\times 9000000}{75000000}=\frac{1800}{75}=24$。 因为 $24>6.635$（对应 $0.010$ 的临界值）， 所以有 $99\%$ 的把握认为该疾病与卫生习惯有差异。

(2) 风险指标 $R$ 的证明与计算：

（ⅰ）公式证明： 根据条件概率公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 及 $P(\bar{B}|A)=\frac{P(\bar{B}A)}{P(A)}$，可得： $\frac{P(B|A)}{P(\bar{B}|A)}=\frac{P(AB)}{P(\bar{B}A)}$。 同理，$\frac{P(B|\bar{A})}{P(\bar{B}|\bar{A})}=\frac{P(B\bar{A})}{P(\bar{B}\bar{A})}$。

代入 $R$ 的定义式： $R=\frac{P(AB)}{P(\bar{B}A)}÷\frac{P(B\bar{A})}{P(\bar{B}\bar{A})}=\frac{P(AB)}{P(B\bar{A})}\cdot \frac{P(\bar{B}\bar{A})}{P(A\bar{B})}$ —— ① 又由乘法公式 $P(AB)=P(A|B)P(B)$，$P(B\bar{A})=P(\bar{A}|B)P(B)$， 代入 ① 式中的第一项：$\frac{P(AB)}{P(B\bar{A})}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(\bar{A}|B)P(B)}=\frac{P(A|B)}{P(\bar{A}|B)}$。 同理，代入 ① 式中的第二项：$\frac{P(\bar{B}\bar{A})}{P(A\bar{B})}=\frac{P(\bar{A}|\bar{B})P(\bar{B})}{P(A|\bar{B})P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{A}|\bar{B})}{P(A|\bar{B})}$。 故 $R=\frac{P(A|B)}{P(\bar{A}|B)}\cdot \frac{P(\bar{A}|\bar{B})}{P(A|\bar{B})}$，证毕。

（ⅱ）数据估计与 $R$ 的计算：

利用频率估计概率： 在病例组（$B$）中，习惯不够良好（$A$）的有 $40$ 人，总数 $100$ 人， 故 $P(A|B)$ 的估计值为 $\frac{40}{100}=0.4$。 在对照组（$\bar{B}$）中，习惯不够良好（$A$）的有 $10$ 人，总数 $100$ 人， 故 $P(A|\bar{B})$ 的估计值为 $\frac{10}{100}=0.1$。 进而可得： $P(\bar{A}|B)=1-0.4=0.6$； $P(\bar{A}|\bar{B})=1-0.1=0.9$。 代入（ⅰ）中的结论：

$R=\frac{0.4}{0.6}\times \frac{0.9}{0.1}=\frac{2}{3}\times 9=6$。 故 $R$ 的估计值为 $6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 独立性检验的规范性：计算 $K^2$ 时，分母的四个合计项（$a+b,c+d,a+c,b+d$）千万不能写错。建议先在草稿纸上补全列联表。
2. 条件概率推导的逻辑：证明题的核心是“寻找中间桥梁”。本题中，利用联合概率 $P(AB)$ 作为中介，实现了从“卫生习惯对患病的影响”到“患病群体中卫生习惯分布”的视角切换。
3. 医学统计的现实意义：$R=6$ 意味着卫生习惯不够良好的人患病风险是习惯良好者的 $6$ 倍。这种结合背景的数学建模是近年高考命题的高频方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：在（ⅱ）中求 $R$ 时，也可以直接代入数据：$R=\frac{40/60}{10/90}=\frac{2/3}{1/9}=6$。这种交叉比（Odds Ratio）在医学统计中非常经典。
• 变式思考：如果 $P(A|B)=P(A|\bar{B})$，此时 $R$ 的值是多少？这对独立性检验意味着什么？
• 名师寄语：概率大题考的是“眼力”和“手力”。眼力要准，能看清条件概率的分母是谁；手力要稳，推导公式时字母上下标不要写反。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率