2022-浙江卷-07 单-指数对数互化

本题导读

本题考查指数式与对数式的互化，以及指数幂的运算性质。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知 $2^a=5$，${\log }_{8}3=b$，则 $4^{a-3b}=$()

A. $25$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $\frac{25}{9}$　　　　　　　D. $\frac{5}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查指数与对数的运算。

突破口在于“化异为同”，即寻找公共底数。观察已知条件和所求表达式，底数分别是 $2$、$8$ 和 $4$，它们都可以转化为以 $2$ 为底的幂。

首先，将对数式 ${\log }_{8}3=b$ 转化为指数式，并化简为底数为 $2$ 的形式；

其次，利用指数的运算性质（同底数幂相除、幂的乘方），将所求式子 $4^{a-3b}$ 拆解、变形，使其出现与已知条件相同的结构；

最后，整体代入求值即可。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：处理已知条件，统底数

已知条件①：$2^a=5$

已知条件②：${\log }_{8}3=b$

由对数的定义，将条件②转化为指数式得：

$8^b=3$

因为 $8=2^3$，代入上式并利用幂的乘方性质 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 得：

$(2^3{)}^b=2^{3b}=3$

第二步：拆解所求表达式并代入

我们需要求的是 $4^{a-3b}$。

根据指数减法运算性质 $x^{m-n}=\frac{x^m}{x^n}$，可得：

$4^{a-3b}=\frac{4^a}{4^{3b}}$

因为 $4=2^2$，进一步将底数化为 $2$：

$4^{a-3b}=\frac{(2^2{)}^a}{(2^2{)}^{3b}}=\frac{2^{2a}}{2^{6b}}$

利用幂的乘方性质的逆向操作，将其凑成已知条件 $2^a$ 和 $2^{3b}$ 的形式：

$4^{a-3b}=\frac{(2^a{)}^2}{(2^{3b}{)}^2}$

第三步：代入数值计算

将 $2^a=5$ 和 $2^{3b}=3$ 代入上式中：

$4^{a-3b}=\frac{5^2}{3^2}=\frac{25}{9}$

故选：C．

本题是一道非常典型的代数基本功考查题。题目不绕弯子，重点考查了学生对指数、对数基本公式的熟练度。在处理不同底数的幂运算时，敏锐地察觉到 $2,4,8$ 之间的关系并进行“统底数”操作，是解题的通法。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 指对数互化关系：

   若 $a>0$ 且 $a\ne 1$，$N>0$，则 $a^x=N⟺x={\log }_{a}N$。

   这是指、对数混合运算中最常用的破题桥梁。

2. 指数幂的核心运算性质：

   • 同底数幂相除：$a^m÷a^n=a^{m-n}$

   • 幂的乘方：$(a^m{)}^n=a^{mn}=(a^n{)}^m$

     在进行代数变形时，公式的正用和逆用（如将 $2^{2a}$ 转化为 $(2^a{)}^2$）同等重要。

3. 运算技巧：遇到带有 $2,4,8,16$ 或 $3,9,27$ 这样具有倍数幂关系的底数时，第一反应应是将其化为相同的最小素数底（如化为底数 $2$ 或 $3$），以便于合并同类项和整体代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-01(8)
• 2003-北京卷理-02
• 2004-全国卷I理-05 单-二项式定理